Concepto de transformación geométrica 
En geometría el movimiento o la modificación de la forma o del tamaño de una figura, constituyen transformaciones geométricas.
En toda transformación geométrica están presentes:  
1)  La figura original o preimagen, que es el objeto antes del cambio.
2)  La operación que describe el cambio, que es la transformación propiamente dicha.
3)  La imagen de la transformación, que es la figura que resulta después de haber realizado la transformación.  

    

En general
Al aplicar una transformación “T” a una figura “F” se obtiene otra figura “F´”, llamada imagen de la primera TF = F´ 
Si se aplica T a un punto P este se transforma en otro punto P´, tal que TP = P´
La transformación T de una figura en otra implica la aplicación de T a todos los puntos de la preimagen. La transformación es una correspondencia uno a uno.
                                        
Isometría y transformaciones isométricas
La palabra isometría proviene del griego iso= igual, metría = medida (igual medida)
Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano, a toda transformación  que no altera ni la forma ni el tamaño de la
figura en cuestión, es decir, solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son  geométricamente congruentes.
Respecto a la isometría y a las posibilidades de transformaciones de figuras, se pueden describir tres tipos de ejecución: por simetría (o reflexión), por traslación y por rotación.
Simetría: Dos puntos A  y  A´ son simétricos respecto a un punto o a una recta si y sólo si las distancias del punto o de la recta a dichos puntos son iguales.
Simetría Axial: Es una simetría en la que el elemento de reflexión es una línea recta, llamada eje de simetría.
Ejemplos: hallar la imagen del punto P respecto a la recta AB. Ilustración 1.
                           
2) Hallar la imagen del cuadrilátero MNHQ respecto a la recta AB. Ilustración 2 
Simetría Central: una simetría central es la simetría respecto a un punto fijo “O”
Ejemplos: Hallar la simetría en cada caso:
 
Sistema de coordenadas
Cualquiera que sea el método aplicado para realizar una transformación isométrica en un plano es imprescindible trabajar sobre un sistema de coordenadas.
Un sistema de coordenadas bidimensional (en un plano) es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en el mismo plano. El sistema más usado es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal, más conocido como Plano Cartesiano.
Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas.
Simetría respecto a los ejes cartesianos
Simetría de un punto p(x,y) respecto a los ejes x e y.
a) Un punto de coordenadas p(x,y) se transforma mediante una simetría respecto al eje x en el punto p´(x,-y).
b) Un punto de coordenadas p(x,y) se transforma por medio de una simetría respecto al eje y en el punto p´(-x, y).
c) Un punto de coordenadas p(x,y) se transforma por medio de una simetría respecto al origen en el punto p´(-x, -y).
En resumen: Sx, p(x,y) = p´(x,-y);  Sy, p(x,y) = p´(-x,y);  So, p(x,y) = p´(-x,-y).
                      
Aplicar al punto P(4,7) una transformación Sx, Sy, So
            
 1)  SxP(4, 7) →  SxP(x, y) → P´(x´, y´ ) → SxP(4,7) ⇒ P´(4, -7) Ilustración 1
2) SyP(4, 7) → SyP(x, y) → P´(x´, y´) → X´= - x;   y´= y → SyP(4, 7) ⇒ P´(- 4, 7) Ilustración 2
3) SoP(4, 7) →SoP(x, y) → P´(x´, y´) → X´= - x;   y´= - y → SoP(4, 7) ⇒ P´(- 4, - 7) Ilustración 3
Traslación
Es una transformación isométrica que representa el cambio de posición de un punto o de una figura en el plano, mediante un vector. "Es un cambio de lugar".
                                
En general, se llama traslación de vector (v) a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, tal que mm' es igual a v.
Las traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:
a) La dirección, si es horizontal, vertical un oblicua.
b) El sentido, derecha, izquierda, arriba y abajo.
c) La magnitud del desplazamiento que se refiere a cuánto se desplazó la figura en una unidad de medida. 
Traslación respecto a los ejes cartesianos
Una traslación es una isometría en el espacio euclideo caracterizada por un vector, tal que cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder un punto P´. Sea P(x, y) un punto del plano, su imagen es P´(x´, y´) que se obtiene mediante el vector  V( x´- x, y´- y ) donde  x´- x = h ; y´- y = k. Por tanto V( h, k )
                                      
1) si h es mayor que 0, la traslación es horizontal y hacia la derecha.
2) si h es menor que 0, la traslación es horizontal y hacia izquierda.
3) si k es mayor que 0, la traslación es vertical y hacia arriba.
4) si k es menor que 0, la traslación es vertical y hacia abajo.
Las coordenadas de la imagen P´se obtienen por medio de las ecuaciones de traslación: x´ = x + h;    y´ = y + k
Ejemplos: 
1) Dado el vector V(3,5) y el punto p(2,1), determina la imagen de traslación del punto p.
x´= x + h → x´= 2 + 3 → X´= 5;    y´= y + k → y´= 1 + 5 → y´= 6. Por tanto la imagen es  P´(5,6). 
Esto significa que el punto se ha trasladado 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia la izquierda. Ilustración 1.
                               
1) Determina la imagen del ∆ ABC que produce el vector V(- 2, 4) a la figura de la ilustración 2.
VA)  V(- 2, 4); A(- 6, 3)                                   VA)  V(- 2, 4); A(- 6, 3)  
x´= x + h → x´= - 6 + (-2) → X´= - 8                y´= y + k → y´= 3 + 3 → y´= 6
VB)  V(- 2, 4); B(- 4, 4)                                   VB) V(- 2, 4); B(- 4, 4)   
x´= x + h → x´= - 4 + (-2) → x´= - 6                y´= y + k → y´= 4 + 4 → y´= 8
VC)  V(- 2, 4); C(- 2, 2)                                  VC)  V(- 2, 4); C(- 2, 2)
x´= x + h → x´= - 2 + (-2) → x´= - 4               y´= y + k → y´= 2 + 4 → y´= 6
La imagen del ∆ ABC es el ∆ A´B´C´, cuyas coordenadas son A´(- 8,6), B´(- 6,8) y C´(- 4,6)
3) Realiza sobre el rectángulo de vértice A(1,3), B(1,5), C(5,5) y D(5,3) la traslación T1: (x,y) → (x + 5, y - 3).
Solución: Las ecuaciones de traslación son x´= x + h;  y´= y + k
En este caso h = 5 y k = - 3, esto es equivalente al vector V(5,-3). Por tanto los vértices se trasladan como se indica:
T: A(1,3) →  x´= 1 + 5 → x´= 6            y´= 3 + (-3) → y´= 0. Así A´(6,0)  
T: B(1,5) →  x´= 1 + 5 → x´= 6            y´= 5 + (-3) → y´= 2. Así B´(6,2) 
T: C(5,5) →  x´= 5 + 5 → x´=10           y´= 5 + (-3) → y´= 2. Así C´(10,2)
T: D(5,3) →  x´= 5 + 5 → x´=10           y´= 3 + (-3) → y´= 0. Así D´(10,0)
                   
En la figura siguiente:
                      
1) Realiza la traslación del ∆ABC,  mediante: 
a) El vector de traslación V( 7, 1 )            b) El vector de traslación V( x + 2, y - 3 ) 
2) Efectúa sobre el rectángulo de vértices A(-5,2), B(-5,8), C(-1,2), D(-1,8) las traslaciones (x,y) siguientes. Hacer la gráfica en cada caso: T1: (x + 3, y – 2)       b) T2: (x + 4, y – 5)          c) T3: (x, y – 4)        d) T4: (x + 2,y – 4 
Rotación de puntos o de  figuras geométricas.
Una rotación es una transformación isométrica que relaciona un punto P y su imagen P´, mediante un punto fijo (centro de rotación) y un ángulo de rotación. Se simboliza por R( O, θ ± ):
Si R( O, θ + ), el giro es positivo (hacia la izquierda); Si R( O, θ - ), el giro es negativo  (hacia la derecha).  ilustración 1  

2) Rotar 60º la figura de la ilustración 2, cuyos vértices son A(3,5), B(6,2), C(4,7) y D(6,9).
Solución: R(0,60º) y las ecuaciones x´= xcosα – ysenα;  y´= xsenα + ycosα
VA)  x´= 3cos60º – 5sen60º → x´= 3(0.5) – 5(0.87) → x´= 1.5 – 4.4 → x´= – 2.9
VA)  y´= 3sen60º + 5cos60º → y´= 3(0.87) + 5(0.5) → y´= 2.6 + 2.5 → y´= 5.1  → p´(- 2.9, 5.1)
VB  x´= 6cos60º – 2sen60º → x´= 6(0.5) – 2(0.87) → x´= 3 – 1.7 → x´= 1.3
VB)  y´= 6sen60º + 2cos60º → y´= 6(0.87) + 2(0.5) → y´= 5.2 + 1 → y´= 6.2  → p´(1.3, 6.2)
VC)  x´= 6cos60º – 2sen60º → x´= 4(0.5) – 7(0.87) → x´= 2 – 6.1 → x´= - 4.1
VC)  y´= 6sen60º + 2cos60º → y´= 4(0.87) + 7(0.5) → y´= 3.5 + 3.5 → y´= 7  → p´(- 4.1, 7)
VD)  x´= 6cos60º – 9sen60º → x´= 6(0.5) – 9(0.87) → x´= 3 – 7.8 → x´= - 4.8
VD)  y´= 6sen60º + 9cos60º → y´= 6(0.87) + 9(0.5) → y´= 5.2 + 4.5 → y´= 9.7  → p´(- 4.8, 9.7)
Ejercicios:
1) ¿Cómo varían las coordenadas de un punto (x, y) al efectuar en un plano cartesiano, una rotación positiva de 180º con centro en el origen?
2) Si se rota en 270º el triángulo de vértices: A(2,3), B(7,-2) y C(5,8), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, ¿Cuáles son los vértices del triángulo resultante?
3) Si un segmento AB ubicado en un plano cartesiano, de extremos A(2,5) y B(-2,0) se gira positivamente con centro en el rigen 80º, ¿Cuáles son los extremos del segmento resultante?
4) En la figura siguiente, las coordenadas del punto Q son (-2,-3), ¿cuáles son las nuevas coordenadas? Al rotar Q en - 50º en torno al origen. Ilustración 1.
                        
5) El triángulo que se obtiene al rotar 240º el ∆ABC,ubicado en un plano cartesiano de vértices A(-2,0), B(4,0) y C(3,4), como el de la figura es.Ilustración 2
Producto  de traslaciones.
Los productos de traslaciones pueden realizarse sobre puntos, segmentos, o cualquier figura geométricas. 
Sean T1:p(x,y) y el vector V1(h1,k1);   T2:p(x,y) y el vector V(h2,k2)    
T1:p(x,y) y V1(h1,k1) → p´(x + h1, y + k1);    T2:p(x,y) y V2(h2,k2) → p´(x + h2, y + k2)
El producto T2 * T1[p((x,y)] → p´´( x´´,y´´) donde x´´ = x + h1 + h2;  y´´ = y + k1 + k2 
T2 * T1: p((x,y) = p´´( x + h1 + h2; y + k1 + k2).
Ejemplos: 
1) Sea el punto P(3,5) si el vector V1(1,-6), V2(-1,-1). Hallar T2 * T1 Ilustración 1                        
T2 * T1 = p´´( x + h1 + h2; y + k1 + k2) → T2 * T1 = p´´[ 3 + 1 + (-1); 5 + (-6) + (-1)] ⇒ T2 * T1 = p´´( 3; -2)
                              
Todo producto de traslación se puede reducir a una única traslación cuyo vector de traslación corresponde a la suma de cada vector por separado. T ( h1, k1) * T ( h2, k2) = T´´( h1 + h2, k1 + k2)
Se puede notar que el vector traslación v = (0, -7) que se le aplico al punto “P” corresponde a la suma de los dos vectores traslaciones, es decir, (0, -7) = (1 + (-1), −6 + (-1)) = (0, −7). En base a esto se puede  decir que aplicar dos traslaciones es equivalente a aplicar una única traslación determinada por la suma de los vectores de traslación.
Todo producto de traslación se puede reducir a una única traslación cuyo vector de traslación corresponde a la suma de cada vector por separado. T ( h1, k1) * T ( h2, k2) = T´´( h1 + h2, k1 + k2)
Se puede notar que el vector traslación v = (0, -7) que se le aplico al punto “P” corresponde a la suma de los dos vectores traslaciones, es decir, (0, -7) = (1 + (-1), −6 + (-1)) = (0, −7). En base a esto se puede  decir que aplicar dos traslaciones es equivalente a aplicar una única traslación determinada por la suma de los vectores de traslación.
2) Hallar la traslación T2 * T1sobre el triángulo ∆ ABC de coordenadas A(3,2), B(6,3), y C(5,1), sabiendo que V1(-5,2) y V2(1,4). Ilustración 2
VA) T2 * T1: A(3,2) → T2 * T1 = A´´( x + h1 + h2, y + k1 + k2) → T2 * T1 = A´´( 3 + (-5) + 1, 2 + 2 + 4) ⇒ T2 * T1 = A´´( -1,8)
VB) T2 * T1: B(6,2) → T2 * T1 = A´´( x + h1 + h2, y + k1 + k2) → T2 * T1 = A´´( 6 + (-5) + 1, 3 + 2 + 4) ⇒ T2 * T1 = A´´( -2,9)
VC) T2 * T1: C(4,5) → T2 * T1 = A´´( x + h1 + h2, y + k1 + k2) → T2 * T1 = A´´( 5 + (-5) + 1, 1 + 2 + 4) ⇒ T2 * T1 = A´´( 1,7)
Ejercicios: 
1) Aplicar al círculo de centro O(-5,4) una traslación de vector V1(7,3) y V2(-4,-6) 
2) A un triángulo de vértices A(0, 5), B(3, 7) y C(-1,-1) se le aplican traslaciones, según los vectores V1(-2/3,0.3) y V2(-5,-3) ¿Cuáles son los nuevos vértices del triángulo? 
3) En base al polígono ABCDE de la figura ilustración 1, resolver los siguientes ejercicios:
a) ¿Qué traslación se realizó al polígono ABCDE para obtener el polígono A´B´C´D´E´ cuyos vértices son: A´(-1, 3), B´(1, 3), C´(4, 2), D´(1, 1) y E´ (-2, 1).
b) Dibujar en el plano cartesiano la imagen del polígono ABCDE al aplicar las traslaciones T(3,- 4)  * T (-7,-1).
c) Dibujar en el plano cartesiano la imagen del polígono ABCDE luego de aplicarle las traslaciones T(5, 5) * T(2,- 6) * T(-10, 7).
               
4) Realiza sobre el ∆ABC de vértices A(2,2), B(2,5) y C(5,2) en la figura de la ilustración 2, el producto de traslaciones T1*T2; si T1:(x + 6, y + 2) y T2:(x + 6, y - 3). 
5) Probar que el producto de traslaciones T2 * T1 = T1 * T2  es conmutativo.