II. Desarrolla los siguentes logaritmos, aplicando las leyes de los logaritmos tanto como sea posible. 
a) Log3 3X/(X + 1)         b)  Log3 (X2 – 1)/X         c) Log3 (X + 1)1/3/[(x – 2)(x + 2)5]         d)  2 * Log3 [(x + 1)/(x – 1)]1/2

Como la función exponencial, la función logarítmica se utiliza con frecuencia en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.
La función logarítmica es una función biunívoca de la función exponencial, esto significa que la función inversa de la exponencial.
Función exponencial                          Función inversa (logarítmica)
  y = f(x)                                                x = f(y)   
 f(x) = bx                                                f – 1(x) = by  
En ambas funciones b es la base y en f – 1(x) = by,  y es el exponente.
La función f – 1(x) = by  se abrevia escribiendo y = Logb X, donde b > 0 y b ≠ 1 
La gráfica de una función se obtiene reflejando la gráfica de la función exponencial respecto a la recta y = x.
Dos casos se presentan:    1.    B > 0   y  2.    0 > b < 0 
1)  Para el caso en que b > 0  (Ilustración 1)        2)  Para el caso en que 0 > b < 0    (Ilustración 2)
             
Ejemplos:
1.   Función exponencial creciente (b > 0)      (Ilustración 3)
F(x) = 2x       
si x = - 2 → f(x) = 1/4;   si x = - 1 → f(x) = 1/2;   si x = 0 → f(x) = 1;    si x = 1  → f(x) = 2;    si x = 2  → f(x) = 4
La asíntota de la curva F(x) = 2x es el eje “X”, ya que la curva se aproxima al eje x sin llegar a tocarlo. 
          
Función logarítmica  (Ilustración 4)  F(x) = Log2 X  
si f(x) =- 2 → Log2 X =1/4;  si f(x) =- 1 → Log2 X =1/2;  si f(x) =0 → Log2 X =1;  si f(x) =1 → Log2 X =2; si f(x) =2 → Log2 X =4
La asíntota de la curva F(x) = Log2 X  es el eje “Y”, ya que la curva se aproxima al eje Y sin llegar a tocarlo.
Un procedimiento alternativo es hacer la gráfica de F(x) = 2x y reflejar la gráfica de la  inversa F(x) = Log2 X  respecto a la recta y = x 
                           
Ejemplo: 2) Determinar el dominio de y = Log2(x – 5)  y graficar la función.
En la función y = Log2(x – 5), la expresión(x – 5) desempeña el papel de x en  Log2 x. Por tanto x – 5 > 0 y dominio son todas x > 5.
Para la gráfica:
a) Se traza la gráfica de la función y = Log2 x
b) Se determina la asíntota vertical si la hay, en este caso x – 5 = 0 → x = 5  y se desplaza la gráfica de y = Log2 x,  5 unidades hacia la derecha.
c) La gráfica desplazada es la gráfica de la función y = Log2(x – 5)
d) Se expresa la función logarítmica a la forma exponencial para ubicar algunos puntos de la curva 
y = Log2(x – 5) → x – 5 = 2y  → x = 2y + 5
y = - 2  → x =  2-2 + 5  → x = 1/22 + 5 → x = 1/4 + 5 → x = 5.25;   
y = - 1  → x = 2 – 1 + 5 → x = 1/21 + 5 → x = 1/2 + 5 → x = 5.5;    si y = 0  → x = 20 +5 → x = 1 + 5 → x = 6;   
y = 1 → x = 21 + 5 → x = 2 + 5 → x = 7;   si y = 2 → x = 22 + 5 →  x = 4 + 5 → x = 9
                          
Determine el dominio y grafique cada función. Identifique las asíntotas y las coordenadas al origen, si las hay.
a) y = Log5x3                                    d) y = Log2(8x)1/3                     g) y = Log4(x + 1)1/2     
b) y = Log3(3x – 6)                            e) y = Log5 1/(x – 2)                  h) y = Log100/(x + 2)  
c) y = Log2 1/(x2 + x) – Log2x            f) y = Log2(2x + 4)  
                                                     Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Para resolver una ecuación logarítmica se procede:
a) Se expresa como una sola expresión usando las propiedades de los logaritmos 
b) Se expresa en la forma exponencial
c) Se resuelve la ecuación que resulta
Determina el valor de x en las expresiones:
Determina el valor de x en las expresiones:
1) Log8(x – 6) + Log8(x + 6) = 2  → Log8(x – 6)(x + 6) = 2  →  Log8(x2 – 36) = 2 → Log8(x2 – 36) = 82
x2 – 36 = 64  →  x2 – 36 – 64 = 0  →  x2 – 100 = 0  →  (x - 10)(x + 10) = 0
x – 10 = 0  →  x = 10  ó    x + 10 = 0  →  x = - 10
Comprobación
Se toma la expresión original, se sustituye x por sus valores y se iguala a y
X = +10 
Log8(x – 6) + Log8(x + 6) = y  →   Log8(10 – 6) + Log8(10 + 6) = y
Log84 + Log816 = y  →  Log2322 + Log2324  = y  →  Log23(22)(24) = y
Log23(22) = y  →  23y = 22  como tienen la misma base 3y = 2  →  y = 2/3
Log23(24) = y  →  23y = 24  como tienen la misma base 3y = 4  →  y = 4/3
Por tanto Log8(x – 6) + Log8(x + 6) = 2/3 + 4/3  →  Log8(x – 6) + Log8(x + 6) = 6/3 = 2      L.Q.Q.D
El valor de x no puede ser menor que 6.    El valor -10 se desprecia por que no satisface la ecuación.
2) Log(x3 – 1) – Log(x2 + x + 1) = 1  →  Log(x3 – 1)/ (x2 + x + 1) = 1  propiedad del cociente
log[(x - 1)(x2 + x + 1)]/(x2 + x 1)  factorizando  Log(x – 1) = 1 
x – 1 = 101 → x = 10 + 1  →  x = 11
Comprobación 
Log(x3 – 1) – Log(x2 + x + 1) = y  →  Log(113 – 1) – Log(112 + 11 + 1) = y
Log(1331 – 1) – Log(121 + 11 + 1) = y  →  Log(1330) – Log(133) = y
Log(1330/133) = y  →  Log10 = y  →  10y = 101  → y = 1
Por tanto Log(x3 – 1) – Log(x2 + x + 1) = 1

3) Log52x – Log5(x + 5) = 0  
A veces conviene aplicar la propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas para resolver una ecuación logarítmica, la cual establece:
Si Logb M Logb N →  M = N                                              Comprobación
Log52x – Log5(x + 5) = 0  →  Log52x = Log5(x + 5)             Log52x – Log5(x + 5) = y
Aplicando la propiedad biunívoca                                       Log52(5) – Log5(5 + 5) = y
2x = x + 5  →  2x – x = 5  →  x = 5                                   Log510 – Log510 = y 
                                                                                                             0 = y   Por tanto Log52x – Log5(x + 5) = 0     
4) Log2(x – 1) + Log2(x + 1) = 3  Por la propiedad del logaritmo de un producto
Log2(x – 1)(x + 1) = 3  →  Log2(x2 – 1) = 3  →  x2 – 1 = 23  →   x2 – 1 = 8
x2 = 8 + 1  →  x2 – 9 = 0   →  (x - 3)(x + 3) = 0
x - 3 = 0  →  x = 3         x + 3 = 0  →  x = - 3 Raíz extraña         
Comprobación
Log2(x – 1) + Log2(x + 1) = y  →  Log2(3 – 1) + Log2(3 + 1) = y   
Log2 2 + Log2 4 = y  →  Log2 2 + Log2 22 = y  ;  2y = 21  → y = 1;     2y = 22   →  y = 2
Log2 2 = y   →  2y = 21  →  y = 1;        Log2 22 = y  → 2y = 22  →  y = 2
Por tanto  Log2(x – 1) + Log2(x + 1) = Log2 2 + Log2 22  →   Log2(x – 1) + Log2(x + 1) = 1 + 2
Log2(x – 1) + Log2(x + 1) = 3
Ejercicios:  
Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe la respuesta.
a) Logx + Log10 = 2          b)  Log 5 – Log x = 2          c)  2 * Log25 x  – Log25(25 – 4x) = 1/2       
d) Log(x + 21) + Log x = 2        e)  Log2 x2 + Log2(x – 2) = 3        f) Log12(x – 5) + Log12(x – 5) = 2      
g)  2 * Log (x – 2) = 4        h) Log(3x2 – 5x – 2) – Log(x – 2) = 1        i) Log(x3 – 1) + Log(x2 + x +1) = - 2   
j) Log(8x3 + 1) – Log(4x2 – 2x + 1) = 2         k)  Log1/3(12x2) – Log1/3(20x – 9) = - 1
Nota: 
El oído humano tiene la capacidad de escuchar sonidos a partir de una intensidad de 10-12 W/m². Esta intensidad se conoce como umbral de audición.  Cuando la intensidad supera 1 W/m², la sensación se vuelve dolorosa.
Dado que en el rango de intensidades que el oído humano puede detectar sin dolor hay grandes diferencias en el número de cifras empleadas en una escala lineal es habitual utilizar una escala logarítmica. Por convención, en dicha escala logarítmica se emplea como nivel de referencia el umbral de audición. La unidad más empleada en la escala logarítmica es el decibelio.
βdb= 10Log I/I0
Donde βdbes el nivel de intensidad acústica en decibelios, I es la intensidad acústica en la escala lineal (W/m² en el SI) e I0 es el umbral de la audición (10-12 W/m²).
Calcule el número de decibelios producido por un avión a chorro cuando al medirlo se obtiene 10 – 2watts/cm2.