pendiente de una recta
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.
Esta forma calcular la pendiente de una recta se le llama forma indirecta.
Sea la recta de ecuación 5x + 3y + 7 = 0
En este caso se determinan dos puntos cualesquiera de la recta asignando valores a x, sustituir en la ecuación:
Esta forma de calcular la pendiente de una recta se le llama forma indirecta.
Sea la recta de ecuación 5x + 3y + 7 = 0
En este caso se determinan dos puntos cualesquiera de la recta asignando valores a x, sustituir en la ecuación:
1) Si x = 1 2) Si x = 2
5(1) + 3y + 7 = 0 → 5 + 3y + 7 = 0 5(2) + 3y + 7 = 0 → 10 + 3y + 7 = 0
3y + 12 = 0 → 3y = - 12 3y + 17 = 0 → 3y = -17
y = -12/3 → Y = - 4 y = -17/3 → y = - 5.7
P1(x1,y1) → P1(1,- 4) P2(x2,y2) → P2(2,-5.7)
m = (y2 – y1)/(x2 – x1) → m = (-5.7 – (-4))/(2 – 1) ⇒ m = (-5.7 + 4)/1 → m = (-1.7)/1 → m = - 1.7
Otra forma de calcular la pendiente de una recta es si conoce la ecuación general (Forma directa) esto es Ax + By + C = 0.
1) Su pendiente será: - A/B 2) Su intersección con el eje Y será – C/B
Así m = - A/B → m = - 5/3 → m = - 1.7; Se puede observar que la pendiente es la misma en ambos casos.
El intercepto con eje y → – C/B = - 7/3 → – C/B = - 2.3
Gráfica
1) Si x = 0 → 5(0) + 35y + 7 = 0 → 0 + 3y + 7 = 0 → 3y = -7 → y = -7/3 ⇒ y = - 2.3
2) Si y = 0 → 5x + 3(0) + 7 = 0 → 5x + 0 + 7 = 0 → 5x = - 7 → x = - 7/5 → x = - 1.4
Los puntos son: (0,-2.3) y (-1.4,0)
La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa, cero o no definida.
Positiva: si la recta es creciente esto es al aumentar los valores de x aumentan los de y, entonces su pendiente es positiva. m > 0
Negativa: si la recta es decreciente esto es al aumentar los valores de x disminuyen los de y, entonces su pendiente es negativa. m < 0
Nula: si la recta es constante o sea horizontal, se dice que tiene pendiente nula. m = 0
No definida: si la recta es vertical. m = no definida.
Ejercicios:
I) Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
1) (-3,4) y (6, -2) 3) (-3, -4) y (3, 2) 4) (-4, 2) y ( 3, 2) 5) (2, 4) y (2, -3)
2) (-3 , -3) y (2, -3) 6) (0, 4) y (2, -4) 7) (-2, -1) y (1, 2) 8) (-3, 2) y (-3, -1)
II) Determina la pendiente, el intercepto con el eje “Y” y grafica la recta de las ecuaciones:
1) 3x + 5y − 2 = 0 2) −3x + 5y − 2 = 0 3) −3x + 5y + 2 = 0 4) (x + 1)/7 = (y – 4)/2
Ecuación General de la recta
Ecuación de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y, se conoce como ecuación ordinaria de la recta.
Una ecuación queda en su forma general cuando el segundo miembro de la ecuación es cero. Ax + By + C = 0.
Determinación de la ecuación de una recta que pasa por un punto (x1, y1), dada su pendiente. Para otro punto cualquiera (x,y) de la recta: (y – y1) /(x – x1) = m → y – y1 = m(x – x1)
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(2,-3), hecer la gráfica.
Solución
Primero se debe determinar la pendiente de la recta:
m = (y2 – y1)/(x2 – x1) → m = (-3 – 5)/(2 – (-4)) → m = -8/(2 + 4) → m = -8/6 → m = - 1.3
Segundo se toma uno cualquiera de los puntos por ejemplo el A(-4,5) y se aplica la fórmula punto pendiente:
(y – y1) /(x – x1) = m → y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = (-8/6)(x – (-4)) → y – 5 = (-8/6)(x + 4) → y – 5 = -8x/6 – 32/6 → y – 5 = (-8x – 32)/6
y = 5 + (-8x – 32)/6 → y = 5/1 + (-8x – 32)/6 → y = 30/6 + (-8x – 32)/6
y = (-8x – 32 + 30)/6 → y = (-8x – 2)/6 → 6y =-8x – 2 → 6y/2 =-8x/2 – 2/2 → 3y =-4x – 1
4x + 3y + 1 = 0 ecuación general de la recta.
Gráfica
Ejercicios:
I) Halla la ecuación de recta de pendiente y punto dados:
1) m = –1, punto (–2, 3); 4) m = 2, punto (–3/2, –1); 7) m = 0, punto (–3, 0)
2) m= –4, punto (2/3, –2); 5) m = –2/5; punto (1,4); 8) m = 3/4, punto (2,5, –3)
3) m = ind, punto (0,5); 6) m = 0; punto (–4, 1/2)
II) Determina la ecuación de la recta que pasa por la pareja de puntos dados.
1) (-3,4) y (6, -2) 3) (-3, -4) y (3, 2) 5) (-4, 2) y ( 3, 2) 7) (2, 4) y (2, -3)
2) (-3 , -3) y (2, -3) 4) (0, 4) y (2, -4) 6) (-2, -1) y (1, 2) 8) (-3, 2) y (-3, -1)
Rectas paralelas y Perpendiculares
Condición para que dos rectas sean paralelas es que tengan igual pendientes
Las rectas L1 y L2 son paralelas si m1 = m2
1) Probar que las rectas L1 que pasa por los puntos A(2,4); B(-5,-1) y L2 que pasa por C(4,2); D(-3,-3) son paralelas.
m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) → m1 = (-1 – 4)/(-5 – 2) → m1 = (-5)/(-7) → m1 = 5/7
m2 = (y2 – y1)/(x2 – x1) → m2 = (-3 – 2)/(-3 – 4) → m2 = (-5)/(-7) → m2 = 5/7
Conclusión: como m1 = m2, la recta L1 es paralela a la recta L2.
1) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4,5) y es paralela a la recta 2x + y -2 = 0
Primero se debe determinar la pendiente de la recta dada, como las pendientes de dos rectas paralelas (m1 = m2) son iguales. La ecuación de la recta que pasa por el punto se determina aplicando la formula punto pendiente.
1º) En vista de que lo conoce de la recta dada es la ecuación general, pendiente se determina con m = - A/B → m = - 2/1 → m = - 2
2º) La ecuación de la recta que pasa por el punto A (4,5) será:
y – y1 = m(x – x1) → y – 5 = -2(x – 4) → y – 5 = -2x + 8 → y = -2x + 8 + 5 → y = -2x + 13 ⇒ 2x + y – 13 = 0
Gráfica
Para la recta L1 dada y L2 que pasa por el punto A(4,5)
2x + y – 2 = 0 2x + y – 13 = 0
1) Si x = 0 → 2(0) + y - 2 = 0 1) Si x = 0 → 2(0) + y - 13 = 0
0 + y - 2 = 0 → y = 2 → y = 2 0 + y - 13 = 0 → y = 13
2) Si y = 0 → 2x + 0 - 2 = 0 2) Si y = 0 → 2x + 0 - 13 = 0
2x - 2 = 0 → 2x = 2 → x = 1 2x - 13 = 0 → 2x = 13 → x = 13/2 ó 6.5
Los puntos son: (0,2) y (1,0) Los puntos son: (0,13) y (6.5,0)
Rectas Perpendiculares
Condición para que dos rectas sean perpendiculares es que la pendiente de una sea el recíproco negativo de la otra.
El concepto recíproco es interpretado como inverso.
Así de 3 = 3/1 su recíproco es 1/3; de -7/1 su recíproco es -1/7. Esto es que el producto sea el elemento neutro de la multiplicación.
Así de 3 su recíproco es 1/3 porque (3)(1/3) = 1
Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si m2 = - 1/m1. Por tanto (m2)(m1) = - 1
Distancia mínima de un punto a una recta
De punto a una recta hay infinidad de líneas que pueden trazarse, pero la línea de menor distancia del punto a la recta es la línea perpendicular trazada del punto a la recta.
Para calcular la mínima distancia del punto a la recta se aplica la fórmula d =│Ax + By + C│/√(A2 + B2)
1) Determina la distancia minina de un punto M(5,7) a la recta cuya ecuación es 2x + 5y + 4 = 0
Solución
d =│Ax + By + C│/√(A2 + B2) → d =│2x + 5y + 4│/√(22 + 52) → d =│2(5) + 5(7) + 4│/√(4 + 25) → d =│10 + 35 + 4│/√(29)
d =│49│/√29 → d =49/5.4 → d =9.1
Conclusión: “La distancia mínima de un punto exterior a una recta es la longitud del segmento perpendicular desde punto a la recta”.
Gráfica
Para hacer la gráfica se debe igualar a cero tanto x como y
1) Si x = 0 → 2(0) + 5y + 4 = 0 → 0 + 5y + 4 = 0 → 5y = -4 → y = -4/5
2) Si y = 0 → 2x + 5(0) + 4 = 0 → 2x + 0 + 4 = 0 → 2x = -4 → x = -4/2 → x = -2
Los puntos son: (0,-0.8) y (-2,0)
1) Probar que las rectas L1: -x + 2y – 4 = 0 y L2: 2x + y – 4 = 0 son perpendiculares
Para la recta -x + 2y – 4 = 0 2x + y – 4 = 0
m1 = -A/B → m1 = -(-1)/2 → m1 = 1/2 m2 = -A/B → m2 = -2/1 → m2 = -2
Conclusión: m2 es el recíproco negativo de m1, por tanto las rectas L1 y L2 son perpendiculares.
Otra forma de probar que las rectas L1 y L2 son perpendiculares, si al multiplicar sus pendientes el resultado es – 1.
Así (m2)(m1) = - 1 → (-2)(1/2) = -1 → -2/2 = -1 por tanto L1 es perpendicular L2
Gráfica
Para la recta -x + 2y – 4 = 0 2x + y – 4 = 0
1) Si x = 0 → -1(0) + 2y - 4 = 0 1) Si x = 0 → 2(0) + y - 4 = 0
0 + 2y - 4 = 0 → 2y = 4 → y = 4/2 → y = 2 0 + y – 4 = 0 → y = 4
2) Si y = 0 → -x + 2(0) - 4 = 0 2) Si y = 0 → 2x + 0 – 4 = 0
-x + 0 – 4 = 0 → -x = 4 → x = 4/-1 → x = -4 2x - 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2
Los puntos son: (0,2) y (-4,0) Los puntos son: (0,4) y (2,0)
2) Encontrar la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto A (-3,5) y es perpendicular a la recta L1: -2x + y + 2 = 0.
Se sabe que m2 = - 1/m1 como m1 = -(-2)/1 → m1 = 2/1 → m1 = 2.
Como las rectas son perpendicularesm2 = - 1/m1 →m2 = - 1/2 ⇒ (m2)(m1) = - 1→ (-1/2)(2) = - 1 → - 2/2 = - 1 → - 1 = - 1
La ecuación de la recta L2 se determina con formula punto pendiente.
y – y1 = m2(x – x1) → y – 5 = -1/2(x – (-3)) → y – 5 = -1/2(x + 3) → y – 5 = --x/2 – 3/2 → y – 5 = (- x – 3)2 → 2 (y – 5) = - x – 3
2y – 10 = - x – 3 → x + 2y – 10 + 3 = 0 → x + 2y – 7 = 0
Gráfica
Para la recta L1: -2x + y + 2 = 0 L2: x + 2y – 7 = 0
1) Si x = 0 → -2(0) + y + 2 = 0 1) Si x = 0 → 1(0) + 2y – 7 = 0
0 + y + 2 = 0 → y = - 2 0 + 2y –7 = 0 → 2y =7 → y =7/2 ó y = 3.5
2) Si y = 0 → -2x + 1(0) + 2 = 0 2) Si y = 0 → x + 2(0) – 7 = 0
x + 0 + 2 = 0 → -2x = - 2 → x = -2/-2 → x = 1 x + 0 – 7 = 0 → x = 7
Los puntos son: (0,-2) y (1,0) Los puntos son: (0,3.5) y (7,0)
3) Probar que la recta L1 que pasa por los puntos A(3,5) y B(7. -1) y es perpendicular a la recta L2 que pasa por los puntos C(0,0) y D(12,8).
A(3.5) y B(7,-1) C(0.0) y D(12,8)
La pendiente de L1 es: La pendiente de L2 es:
m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) m2 = (y2 – y1)/(x2 – x1)
m1 = (-1 – 5)/(7 – 3) → m1 = -6/4 ⇒ m1 = -3/2 m2 = (8 – 0)/(12 – 0) → m2 = 8/12 ⇒ m2 = 2/3
Se puede observar que las pendientes son recíprocas y de signos contrario. Esto es m2 = - 1/m1 → m2 = - 1/(-3/2) → m2 = (1/1)(2/3) → m2 = 2/3. De otra forma(m2)(m1) = - 1 → (2/3)(-3/2) = - 1 → - 1 = -1. Por tanto L1 es perpendicular a L2.
Ecuaciones generales de las rectas
Para determinar la ecuación se toma un punto cualquiera de la recta y su pendiente.
Así para L1; Punto (3,5) y m1 = -3/2
y – y1 = m1(x – x1) → y – 5 = (-3/2)(x – 3) → y – 5 = -3x/2 + 9/2 → y – 5 =(-3x + 9)/2
2(y – 5) = -3x + 9 → 2y – 10 = -3x + 9 → 3x + 2y – 10 – 9 = 0 → 3x + 2y – 19 = 0
Para L2; Punto (12,8) y m2 = 2/3
y – y1 = m2(x – x1) → y – 8 = (2/3)(x – 12) → y – 8 = 2x/3 – 24/3 → y – 8 = (2x – 24)/3
3(y – 8 ) = 2x – 24 → 3y – 24 = 2x – 24 → -2x + 3y – 24 + 24 = 0 → -2x + 3y = 0
Como determinar si las ecuaciones de dos rectas representan rectas paralelas, perpendiculares u oblicuas.
Ejemplo: diga si par de rectas L1: -x + 2y + 12 = 0; L2: -6x – 3y – 9 = 0 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
1º Deben expresarse ambas ecuaciones a la forma ordinaria y = mx + b
L1: -x + 2y + 12 = 0 L2: -6x – 3y – 9 = 0
-x + 2y + 12 = 0 → 2y = x – 12 -6x – 3y – 9 = 0 → -3y = 6x + 9
y = x/2 – 12/2 → y = x/2 – 6 y = 6x/-3 + 9/-3 → y = -2x – 3
En la ecuación de una recta en su forma ordinaria, el coeficiente de la variable x representa la pendiente de la recta.
Así en L1: y = x/2 – 6 → m1 = 1/2 En L2: y = -2x – 3 → m2 = - 2
Puede observar que m2 es el recíproco negativo de m1, es decir, (m2)(m1) = - 1→ (-2)(1/2) = - 1→ -2/2 = - 1→ - 1 = - 1, por tanto L1 Y L2 son perpendiculares.
Gráfica
Para la recta L1: -x + 2y + 12 = 0 L2: -6x – 3y – 9 = 0
1) Si x = 0 → -1(0) + 2y + 12 = 0 1) Si x = 0 → -6(0) – 3y – 9 = 0
0 + 2y + 12 = 0 → 2y = -12 0 – 3y – 9 = 0 → -3y =9
y = -12/2 → y = - 6 y = 9/-3 → y = - 3
2) Si y = 0 → - x + 2(0) + 12 = 0 2) Si y = 0 → -6x – 3(0) – 9 = 0
-x + 0 + 12 = 0 → -x = -12 -6x + 0 – 9 = 9 → -6x – 9 = 0
x = -12/-1 → x = 12 -6x = 9 → x = 9/-6 → x = -3/2
Los puntos son: (0,- 6) y (12,0) Los puntos son: (0,-3) y (-1.5,0)
Ejercicios:
1) Para cada par de rectas diga si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
a) 2y−3x=5 ; 6x−4y−2=0; b) 2y−3x=7 ; 2x−3y=9; c) 3x−2y=4 ; 3y=4−2x
2) Determine el valor de k para que las rectas 2y−5x=4; kx+4y=7 sean perpendiculares.
3) Determine el valor de k para que las rectas ky−3x=4; kx−4y=7 sean paralelas.
4) Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6
5) Determinar si las rectas y = −8x + 5; y = 1/8(x) – 1 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
6) Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).
7) Escribir la ecuación de una recta que contenga el punto (1, 5) y sea perpendicular a la recta y = 2x – 6.
8) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,7) e indica si es paralela o perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-4, -1) y (6, -2).
