Definición: el logaritmo de un número, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número. 
Así Loga b = x → ax = b 
· a = base tanto en la potenciación como en la logaritmación.
· x = exponente de la potencia, también llamado logaritmo. 
· b = argumento del logaritmo, también llamado potencia.
                                                                Memorice y observe la tabla     

1)    Log5 125 = x → 5x = 53 
Si dos cantidades son iguales y tienen la misma base, entonces los exponentes son iguales (propiedad biunívoca de funciones). Por tanto x = 3 
2) Log2 128 = x → 2x = 27 → x = 7 
Logaritmos decimales
Cuando los logaritmos son de base 10 se llaman decimales y se puede prescindir de la base.
Log10 a = b → 10b = a. Este logaritmo puede escribirseLog10 a = b → Log a = b
El logaritmo de la base es1, es decir, Log10 = 1. Porque 101 = 10.  
Log 100 = 2 porque 102 = 100;           Log 1000 = 3 porque 103 = 1000            Log 10,000 = 4 porque 104 = 10,000
Log 100,000 = 5 porque 105 = 100,000      Log 0.1 = -1 porque 10-1 = 1/10       Log 0.01 = -2 porque 10- 2 = 1/100    Log 0.001 = -3 porque 10- 3 = 1/1000
Los únicos números de este sistema cuyos logaritmos son enteros son las potencias de diez.
 Log 1 = 0         Log 0.1 = - 1 Log 10 = 1       Log 0.01 = - 2      Log 100 = 2       Log 0.001 = - 3      Log 1000 = 3, etc.      Log 0.0001 = - 4, etc.
El logaritmo de todo número que no es potencia de 10 no es un entero, sino una fracción propia o un entero más una fracción propia o mantisa.
Si Log 1 = 0 y Log 10 = 1 entonces los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; su logaritmo será una fracción propia.
a)    Log 2 = 0.301030;              b)  Log 3 = 0.477121                  c) Log 4 = 0.602060
Si Log 10 = 1 y Log 100 = 2, entonces los números comprendidos entre 10 y 100 tendrán un logaritmo mayor que 1 y menor que 2. Su logaritmo será 1 más una fracción propia. 
a)    Log 12 = 1 + 0.176091 → Log 12 = 1.176091                 b)    Log 73 = 1 + 0.863323 → Log 73 = 1.863323
Si Log 100 = 2 y Log 1000 = 3, entonces los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3; su logaritmo será 2 más una fracción propia, Así sucesivamente.
a)    Log 123 = 2 + 0.089905 → Log 123 = 2.089905               b)    Log 568 = 2 + 0.754348 → Log 568 = 2.754348
                                                                Parte entera y mantisa
Se puede resumir de lo anterior que los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
·  Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
·  Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero)
. Los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica
. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 de dicho número
. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva
. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva
. Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal, colocando una rayita encima de  la característica seguido de la mantisa.
Determina cada logaritmo usando la definición 
1. Log1/4 (256)1/4 = x     En este caso debe expresase el radicar como potencia
Log1/4 (256)1/4 = x → (1/4)x = (256)1/4    →  (1/22)x = (28)1/4
((22) – 1)x = (28)1/4  →  ((2) – 2)x = (2)8/4  →  (2) – 2x = (2)2  
-2x = 2  →  x = 2/-2    →  x = - 1 
2. Log81 3 = x                 3. Log125 5 = x            4.    Log1/3 (27)1/3 = x             5. Log2 32 = x 
Ejercicios: 
I. Pase de la forma exponencial a la forma logarítmica cada expresión:
a) 28 = 256;        c)  2 – 5 = 1/32;      e)  (1/5) – 2 = 25       b) 361/2 = 6;        d)  40 =1;          f)  (1/125)1/3 = 5
II. Pase de la forma logarítmica a la forma exponencial cada expresión:
a) Log49 7 =1/2       b)  Log15 15 = 1        c)  Log10 0.001 = - 3         d) Log12 1/1728 = - 3        e)  Log27/8 9/4 = 2/3      f)   Log(8)1/3 = 3
III. Calcule el valor de “x” en cada caso:
a) Log813 = x      b)  Log125 5 = x         c)  Log1/3 (27)1/3 = x     d) Log2 32 = x       e)  Log1/2 5 = x           f)  Log0.3 1000/27 = x   
IV.Encuentre el valor de la variable involucrada en cada expresión:
a) Log1/6 x = 3      b)  Log100 10 = y       c) Log(8)1/2  1/8 = y       d) Log2b 0.1 = - 1      e)  Log1/16 x = 1/4       f)  Log10 1000 = y/2   
V. Calcule el valor de cada expresión: 
a) Log3/4 (Log1/27 1/81                              b)  Log2 (Log4 256)
VI.  Despeje y, x ó b según se indique
a) Lo2 16 = y         c)  Log7 x = -2      d)  Logb 125 = 3        b) Log27 3 = y       e)  Logb 16/81 = 4        f)  Log0.2 5 = x 
 Propiedades Básicas de los logaritmos
Propiedades 1.  El logaritmo de 1 en cualquier base es cero
Loga 1 = x → ax = 1, para que una base diferente de cero, elevada a un exponente sea igual a 1, por la ley de los exponentes el exponente de la base debe ser cero. Cualquier cantidad elevada a la cero es 1.
ax = 1 → a0 = 1 → x = 0. La base de un logaritmo es siempre un número positivo y diferente de 1.
Ejemplos:    a) Log3 1 = 0 porque 30 = 1;            c)  Log 1 = 0 porque 100 = 1          b)    Ln 1 = 0 porque e0 = 1
Propiedades 2.   El logaritmo de la base es siempre 1.   Loga a = x → ax =a1 por tanto x = 1      
Ejemplos: 
a) Log10 10 = 1 porque 100 = 1              c)  Ln e = 1 → Loge e = 1 porque e0 = 1          b) Log6 6 = 1 porque 60 = 1
Propiedades 3.  El logaritmo en cualquier base del producto de dos cantidades es igual a la suma de los logaritmos de las cantidades en la misma base.
Loga (A*B) = Loga A +Loga B 
Loga A = A → aA = A       ⇒      Loga (aA * aB) = aA+B ;      Loga B = B → aB = B          ⇒     Loga aA+B = A+B
Loga (A*B) = Loga (aA • aB)     por tanto     Loga (A*B) = Loga A + Loga B    (L.Q.Q.D)
Propiedades 4.  El logaritmo en cualquier base del cociente de dos cantidades es al logaritmo en la misma base del numerador menos el logaritmo del denominador.
Loga (A/B) = Loga A - Loga B  Por la propiedad de la potencia   Loga A = A  →  aA = A;          Loga B = B  →  aB = B
 Loga (A/B) = Loga (aA/aB)    →  Loga (aA/aB) = Loga aA – B   Por definición Loga aA – B = A – B    →  Loga (A/B) =  Loga A – Loga B    L.Q.Q.D  
Ejemplos:    a) Log4 (4096/16) = Log4 4096 – Log4 16  ⇒ Log4 4096 = 46;   Log4 16 = 42
Log4 (4096/16) = Log4 (46/42)  → Log4 (4096/16) = Log4 46 – 2   por tanto  Log4 (4096/16) = Log4 44   
Se cumple que el exponente de la base en el primer miembro es igual a la diferencia de los exponentes en el segundo miembro 4 = 6 – 2 
Log (100,000/1000) = Log100,000 – Log1000   ⇒  Log100 =  Log100, 000 – Log1000  Log100 = 2;        Log100, 000 = 5  y  Log1000 = 3  ⇒   2 = 5 – 3 
Propiedades 5.   El logaritmo en cualquier base de una potencia es igual al exponente por el logaritmo en la misma base del número.
Loga(A)n = (n)(Loga A)       por la propiedad de potencia
Loga A = A → aA = A           Loga (aA)n = Loga an*A  
Loga(A)n = Loga (aA)n          →  Loga an*A = n*A 
Como A = Loga A  →   Loga(A)n = (n)(Loga A) L.Q.Q.D  
Ejemplos:     a) Log3243 = Log335 ;          Log33 = 1   →  Log335 = (5)(1)  →  Log3243 = 5 
b) Log7 40353607 = Log7 79  ;      Log7 7 = 1   →  Log7 79 = (9)(1)    →   Log7 40353607 = 9 
Logaritmo de una cantidad con raíz.
Loga (k)1/n = (1/n)(Loga k)    ;     Loga(k)1/n = Loga k1/n  Definición de raíz. 
Loga (k)1/n = (1/n)(Loga k)     Definición de una potencia    
Loga (k)1/n = (1/n)(Loga k)      L.Q.Q.D
  Ejemplos:  a) Log3 (27)1/3 = (1/3)(Log327)   →    Log3(27)1/3 = (1/3)(Log3 33)    
Log3 3 = 1  →   (1/3)(Log3 33) = (1/3)(3)(Log3 3)  
Log3 (27)1/3 =  (1/3)(3)(1)  →   Log3(27)1/3 =  (3/3)(1)    
Log3 (27)1/3 =  (1)(1)  →  Log3(27)1/3 =  1  
De forma sencilla  Log3 (27)1/3 = Log3 3  →  Log3 (27)1/3 = 1   
Logaritmo de algunos dígitos: 
Log 2 = 0.301030      Log 3 = 0.477121       Log 5 =0.698970        Log 7 = 0.845098        Log 11 = 1.041393       Log 13 = 1.113943 
b) Se sabe que Log 2 = 0.301030 y log 3 = 0.477121. Determine Log (24)1/2
Log (24)1/2 = (1/2)(Log 24).  Aplicando la propiedad del Log de una potencia se tiene
Log (24)1/2 = (1/2)(Log 3 x  8 )  → Log (24)1/2 =  (1/2)(Log 3 + Log 23)  
Log (24)1/2 =  (1/2)(Log 3 + (3)Log 2)  →  Log (24)1/2 =  (1/2)(0.477121 + (3)(0.301030))
Log (24)1/2 =  (1/2)(0.477121 + 0.903090)  →  Log (24)1/2 =  (1/2)(1.380211)   ⇒  Log (24)1/2 = 0.690106       
En las actividades reales para calcular el Log de un número se usa una calculadora científica.
Cambio de base de un logaritmo
Como transformar el logaritmo de una base a otra base.
1.    Loga X = Logb X/Loga X ;  Loga X = A  →  aA = X;  Logb X = B ;  → bB = X  Como aA = X  ;  bB = X → aA  = bB y por tanto   Loga X = Logb X
Sustituyendo Logb aA = LogbbB  →  A* Logb a = B * Logb b  por lapropiedad de la potencia.
Se sabe que Logb b = 1  →  A* Logb a = B * 1 y despejando A se tiene  A = B/ Logb a  →  Loga X = Logb X/Loga X  
Cambio a base decimal  
 2. Loga X = Logb X/Loga X b   Implica que  Loga X = Loge X/Loge a       ó    Loga X = LnX/Ln a
Ejemplos:   I. Resuelve aplicando las propiedades de los logaritmos.
1. Log216 +Log327 + Log5625 = Log224 +Log333 + Log554 ⇒ Log216 +Log327 + Log5625 =4 * Log2 2 + 3 * Log3 3 + 4 * Log5 5
Log216 +Log327 + Log5625 =4 * 1 + 3 * 1 + 4 * 1 ⇒ Log216 +Log327 + Log5625 =4 + 3 + 4  →  Log216 +Log327 + Log5625 =11
2. Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 =( Log3 243 - Log3 9) + (Log3 162 – Log36)
Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = Log3 (243/9) + Log3 162/6)  ⇒ Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = Log3 27 + Log3 27
Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = Log3 (27 * 27)  ⇒  Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = Log3 729
Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = Log3 36  ⇒  Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = 6 * Log3 3 
Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = 6 * 1  ⇒  Log3 243 - Log3 9 + Log3 162 - Log3 6 = 6
3. 1/2 * Log5100 + Log5(7/3) = Log5(100)1/2 + Log5(25/10)   ⇒  1/2 * Log5100 + Log5(25/10) = Log510 + Log5(25/10)
1/2 * Log5100 + Log5(25/10) = Log5(10 * 25/10)  ⇒  1/2 * Log5100 + Log5(25/10) = Log5(250/10)
1/2 *  Log5100 + Log5(25/10) = Log525  ⇒  1/2 * Log5100 + Log5(25/10) = Log5 52
1/2 * Log5100 + Log5(25/10) =2 * Log55  ⇒  1/2 * Log5100 + Log5(25/10) =2 * 1
 Log5100 + Log5(25/10) =2 
Aplicando las propiedades de los logaritmos escribir como una sola expresión:
5.   7 * Log2A – 2 * Log2B + 2/3 * Log2C = Log2A7 – Log2B2 + Log2C2/3    
   7 * Log2A – 2 * Log2B + 2/3 * Log2C = Log2 ((A7/B2) * C2/3)   
6.    1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = LogP1/2 + LogQ3 – LogR – LogS2
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = (Log(P)1/2 + LogQ3) – (LogR + LogS2)   
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = Log(P1/2 * Q3) – Log(R * S2)
1/2 * LogP + 3 * LogQ – LogR – 2 * LogS = Log(P1/2 * Q3)/(R * S2)                    
Aplicando las propiedades de los logaritmos desarrolla cada expresión:
7. Log5 ((A4 * B6 * C1/3)/D7) = Log5 A4 + Log5 B6 + Log5 C1/3 – Log5 D7  ⇒ Log5 ((A4 * B6 * C1/3)/D7) = 4 * Log5 A + 6 * Log5 B + 1/3 * Log5 C  – 7 * Log5 D
8. Log((x * x1/2)/(x2 * y * z4)1/3) =  Log X + ½ * Log X – 1/3 * Log(X2 * y * Z4) 
Log((x * x1/2)/(x2 * y * z4)1/3) = Log X(1+ 1/2) – 1/3 * (LogX2 + LogY + LogZ4)
Log((x * x1/2)/(x2 * y * z4)1/3) = Log X(1+ 1/2) – 1/3 * (2 * LogX + LogY + 4 * LogZ)
Log((x * x1/2)/(x2 * y * z4)1/3) = 3/2 * Log X – 2/3 * LogX – LogY – 4/3 * LogZ
Ejercicios: I. Aplicando las propiedades convierta cada expresión como el logaritmo de una sola.
a) Log2 X +  Log2 X + Log2 3      b)  2 * Log3(X – 1) + ½ * Log2 X + Log3 X        c) Log5 (X + 1) – Log5 (X + 2)      
d)  1/3 * Logb (X2 – 1) + Logb 3 – 1/3 * Logb (X +1)      e) [ Log7 (X2 + 4X + 4) – Log7 X + 2)]     f)  1/4 * Log4 X2 –1/2 * Log4 (X2 + 1) – 2 * Log4 (X + 3)