Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija “r”, llamada razón. Si  a_n-1 Término anterior; a_n = Término siguiente; razón  →  r = a_n/a_n-1; ∀_{n ϵ N}
                                                                    Ejercicios

Determina la razón en cada caso:   a)    3, 6, 12, 24, 48, ...   b) 1, 1/2, 1/4, 1/8,…………     c)  2, 6, 18, 54,………..

                                      Término general de una progresión geométrica
Si conocemos el 1^er término y la razón, entonces:
a₁ = a₁ * r⁰;     a₂ = (a₁)(r)    →  a₂ = (a₁ * r⁰) * r  →  a₂ = a₁  * r;   a₃ = (a₂*r)  →  a₃ = (a₁* r) * r  →  a₁ * r²; 
a₄ = a₃* r = (a₁ * r²)*r → a₄ = a₁* r³ 
……………………………………………………………………………………………………….
Generalizando a_n = a₁ * r^n-1

Completa y calcula el término general de las progresiones geométricas.
Términos                          1er Término                   Razón                      Término gral
3, 9, 27, 81,………….
-5, -10, -20, -40,…….
1024, 512, 256,……..
6, 6, 6, 6, 6,………….
100, 150, 225,……….
1000, - 100, 10,……..

Determina el término pedido en cada progresión geométrica:
_a) 3, 6, 12, 24, 48,……………; a_{7         b)} 1, 2/5, 4/25, 8/125, 16/625,………; a₉        c) 4, - 8, 16, - 32, 64,……… a₁₂ 
d) Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2^do ha pagado 2 €, por el 3^ro ha pagado 4 €, por el 4^to ha pagado 8 € y así sucesivamente. ¿Cuánto ha pagado por los libros?
e) Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? 

                                Interpolación geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m, entonces la expresión es      
                                                                             
En una progresión geométrica de 5 términos, el 1er término es a₁ = 4 y quinto término es a_n = 64. Interpolar los términos faltantes. 4,-----,-----,-----,64. El número de términos que se debe interpolar es 3 por tanto m = 3, la razón será (r):  r = (√b/a) ^m+1  → r = (√64/4)³⁺¹ → r = (√16)⁴ → r = 2
a₂ = 4 * 2 → a₂ = 8;  a₃ = a₂ * r → a₃ = 8 * 2 → a₃ = 16;   a₄ = a₃ * r → a₄ = 16 * 2 → a₄ = 32
La progresión resultante es 4, 8, 16, 32, 64
                                                         Ejercicios
En cada caso hacer lo que se pide:
a) El 1^er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón y escribir la progresión.
b) El  2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
c) Averigua la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 27 y el cuarto es 8.
d) Insertar 5 medios  geométricos entre  4/9  y  27/265         e)    Insertar 5 medios  geométricos entre   5  y  3125 

                Suma de los términos de una progresión geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así,8, 32, 128, 512, 2048, 8192,….. es una progresión geométrica con razón igual a 4, porque cada elemento es el cuádruple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo   el término en cuestión, a₁ el primer término y  , la razón: a_n = a₁ * r^n-1
Así: si se quiere calcular el quinto término de la progresión anterior:
a_n = a₁ * r^n-1 → a₅ = 8 * 4^5-1 → a₅ = 8 * 4⁴ → a₅ = 8 * 256 → a₅ = 2048
Si quiere sumar todos los términos de una progresión, resulta muy laboriosa por lo que se hace necesario utilizar fórmulas. Sea S_n la suma de los primeros términos consecutivos de una progresión geométrica. S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a_n-1 + a_n
                                               Demostración
Se sabe que:         a₂ = a₁ * r;        a₃ = a₂ * r;     a₄ = a₃ * r ……….. a_n = a_n-1 * r
La suma de todos los términos del mimbro de la izquierda es igual a la suma de todos los términos del miembro de la derecha.  a₂ + a₃ + a₄ +………… + a_n = a₁ * r + a₂ * r + a₃ * r + a₄ * r +………. + a_n-1 * r, se puede observar que en el miembro de la derecha “r” es un factor común  a₂ + a₃ + a₄ +………… + a_n = r (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +………. + a_n-1) 
El miembro de la izquierda es la suma de los términos de una progresión menos el primer término y el miembro de la derecha es el producto de la razón por la suma de los términos de la progresión menos el último término.
(a₂ + a₃ + a₄ +………… + a_n) – a₁  = r((a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +………. + a_n-1) – a_n)
Si Sn = a₂ + a₃ + a₄ +………… + a_n  → S_n – a₁;  Sn = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +………. + a_n-1 →  r (S_n – a_n )  →  S_n * r – a_n * r
S_n – a₁ = S_n * r – a_n * r  →  a_n * r – a₁  = Sn * r – Sn  →  a_n * r – a₁ = Sn(r – 1) 
Sn = (a_n * r – a₁)/(r – 1)  →  Sn = (a₁ * r^n-1 * r – a₁)/(r – 1)  →  Sn = (a₁ * rⁿ – a₁)/(r – 1) ⇒ Sn = a₁ (rⁿ – 1)/(r – 1); LQQD 
                                             Ejercicios
1) Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión geométrica en la cual a₁ = 5  y  r = - 2
2) Determina los 9 primeros términos de una progresión geométrica en que a₁ = 3  y  r = 2
3) La suma de los sietes primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Calcula el primero y el séptimo término. 

              Suma de los “n” términos de una progresión geométrica decreciente
Una progresión geométrica es decreciente si se cumple que la razón es mayor que cero y menor que uno, 0 < r < 1.
Se sabe que la suma de los términos de una progresión geométrica (creciente o decreciente) finita. S_n = a₁ (rⁿ – 1)/(r – 1), si el numerador y el denominador se multiplican por( – 1) la expresión S_n = a₁ (rⁿ – 1)/(r – 1) se transforma en S_n = a₁ (1 – rⁿ)/(1 – r)
Con esta misma relación se puede calcular una progresión geométrica infinita decreciente, cuando el valor de la razón es menor en valor absoluto que 1. │r│ < 1
A medida que el número de términos (n) crece  rⁿ se hace cada vez más pequeño, que puede ser aproximadamente cero rⁿ = 0. Por ejemplo si r = 1/5, entonces:   
Si n = 1  →  r¹ = 0.2                                 Si n = 2   →  r¹ = 1/5² = 0.04
Si n = 3   →  r¹ = 1/5³ = 0.008                  Si n = 4   →  r¹ = 1/5⁴ = 0.0016
Si n = 5   →  r¹ = 1/5⁵ = 0.00032              Si n = 6  →  r¹ = 1/5⁶ = 0.000064
Se puede observar que cuando n crece, r tiende cero.
En este caso la expresión se transforma en:
S_n = a₁ (1 – rⁿ)/(1 – r) → S_n = a₁ (1 – 0)/(1 – r) → S_n = a₁ (1)/(1 – r) →    S_n = a₁ /(1 – r)
Ejemplo: calcular el séptimo término, la suma ochos primeros término y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente donde a₁ = 6 y r = 1/3. Datos: a₁ = 6; r = 1/3;  a₅ y S_n .
a) a₇ = a₁ * r^n-1 → a₇ = 6 * (1/3)^7-1 → a₇ = 6 * (1/3)⁶ → a₇ = 6 * 1/729 → a₇ = 6/729 → a₇ = 0.008 
b) S₈ = a₁ (1 – rⁿ)/(1 – r) → S₈ = 6 * (1 – (1/3)⁸)/(1 – 1/3) → S₈ = 6 * (1 – 1/6561)/(1 – 0.33) → S₈ = 6 * (0.99)/(0.67) ⇒ S₈ = 6 * (1.48) → S₈ = 8.88
c) S_n = a₁ /(1 – r) → S_n = 6 /(1 – 1/3) → S_n = 6 /(0.67) → S_n = 8.96
                                                      Ejercicios:
1) Calcula la suma de los 5 primeros términos y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que a₁ = 1000 y a₃ = 40.
2) En una progresión geométrica el primer término es 4 y la razón es 1/8. Determina:    a)    El 4to término  
b) La suma de los 4 primeros términos            c) La suma de sus infinitos términos.
3) Hallar la suma de los infinitos términos de las siguientes progresiones geométricas.
a) a₁ = 4  y  r = 1/3        b) a₁ = 17  y  r = 95/100       c) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,………      d) 90, - 30, 10, - 10/3, 10/9,………

                 Producto de los términos de una progresión geométrica
Sea  la progresión geométrica: 1, 5, 25,…….., 3125, 15625, 78125. 
Los términos equidistantes son:a₁ = 1 y a_n = 78125; a₂ = 5 y a_n-1= 15625; a₃ = 25 y a_n-2 = 3125.
a₁ * a_n = 1 * 78125   = 78125;  a₂ * a_n-1 = 5 * 15625   = 78125;  a₃ * a_n-2 = 25 * 3125   = 78125
……………………………………….
a_n * a₁ = 78125 * 1    = 78125;  a_n-1 * a₂ = 15625 * 5   = 78125;  a_n-2 * a₃ = 3125      = 78125
Se puede observar que los productos equidistantes de los extremos son iguales.

                                          Demostración
P_n = a₁ * a₂ …….. a_n-1 * a_n  (I) ;  P_n = a_n * a_n-1 ……… a₂ * a₁ (II).  El orden los factores no altera el producto
Multiplicar I Y II  ⇒   (Pn)(Pn) = (a₁ * a₂)( a_n * a_n-1)………..( a_n-1 * a_n)( a₂ * a₁)
Los productos de los términos equidistantes son iguales, por tanto
P_n² = (a₁ * a_n)(a₁ * a_n)………….(a₁ * a_n)(a₁ * a_n)  ⇒  P_n² = (a₁ * a_n)ⁿ → P_n =± [(a₁ * a_n)ⁿ]^1/2
En general en una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado al número de términos. 
Dada la progresión 2, 6, 18, 54, 162. El producto de los términos es; 2 * 6 * 18 * 54 * 162 = 1889568.
Si se aplica la fórmula del producto de una progresión geométrica el resultado debe ser el mismo.
P_n =± [(a₁ * a_n)ⁿ]^1/2 → P_n =± [(2 * 162)⁵]^1/2 → P_n = [(324)⁵]^1/2 → P_n =± [3570467226624]^1/2 → P_n = +1889568. positivo porque todos los términos de la progresión son positivos.
                                                                                Ejercicios: 
1) Determinar el producto de los veinte primeros términos de la progresión  1/16, 1/8, 1/4, 1/2,………
2) Hallar el producto de los siete primeros términos de la progresión  1, - 2, 4, - 8,………… 
3) Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ..........
4) En una progresión geométrica de primer término 4 y razón 3, la suma de dos términos consecutivos es 1296 y el producto de estos mismos términos 314928¿Cuáles son estos dos términos consecutivos?