Números Complejos
Lo que el hombre llama número complejo surge como una necesidad del hombre para resolver algunas situaciones encontradas, dando lugar a una nueva matemática denominada “variables complejas”.
En el año 1777 el matemático Euler propone una solución para resolver ecuaciones de este tipo x2 + 1 = 0 → x2 = - 1 caso este que no existe en el conjunto de los números reales ya que no existe ningún número que elevado al cuadrado sea igual a – 1, es decir, x2 < 0 dando lugar al nacimiento de los“números complejos”.
Resolviendo x2 = - 1 → x = ±√-1 solución que no existe en conjunto de los números reales.
Por definición √-1 es la unidad imaginaria que se simboliza por “i”y cualquier otro número imaginario es un múltiplo de “i”.
El término número complejo, describe la suma de un número real y un número imaginario(a + bi), donde:
a) a es la parte real y se representa Re(a) b) i es la parte imaginaria y se representa Im(i)
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En los números complejos se cumple que ℛ ⊂ ℂ.
Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi donde: a) b es un número real. b) i es la unidad imaginaria.
Representación en el plano complejo de un número complejo
Potencias de la unidad imaginaria:
a) i0 = 1 b) i1 = i c) i2 = - 1 d) i3 = - i e) i4 = 1
Nota: estos resultados se repiten a partir de la 4ta potencia cada 4 veces.
La potencia de “i” se puede encontrar dividiendo el exponente entre 4 y el residuo indica el exponente primario de “i”.
Ejemplos:
a) i15 → 15/4 = 3 y de residuo 3 → i3 = - i b) i52 → 52/4 =13 y de residuo 0 → i0 =1 c) i49 → 49/4 =12 y de residuo 1 → i1 = i
Realizar las siguientes potencias: a) i25 = b) i66 = c) i237 =
Forma de expresar un número complejo.
Un número complejo puede expresarse de varias formas entre las que podemos citar:
a) En forma binómica z = a + bi b) En forma de par ordenado z = (a,b)
c) En forma polar z = rα d) En forma trigonométrica z = (Cos α + iSen α)
Números complejos en forma binómica.
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
El número a se llama parte real del número complejo.
El número bi se llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por ℂ = {a + bi/a, b ℰℛ }
Complejos opuestos
Los números complejos z = a + bi y - z = −a − bi se llaman opuestos.
Representación gráfica de un número complejo y su opuesto. Así complejo z = 3 + 5i su opuesto es – z = - 3 – 5i Ilustración 1
Conjugado de un número complejo
Dos complejos se llaman conjugados si solo difieren en su signo central.
El conjugado de un complejo Z (denotado como ) es un nuevo número complejo, definido así: z = a + bi → Ż = a – bi Ejemplo, los dos complejos: z = 3m – i y Ż = 3m + i son conjugados.
Escribir el conjugado de cada número complejo:
a) Z = 3 + 4i su conjugado es __________ b) Z = - 5 – 9i su conjugado es __________
c) Z = 7 – 8i su conjugado es __________ d) Z = 15 + (2i)1/2 su conjugado es __________
Grafica de un número complejo y su conjugado. Sea: z = 3 – 2i el conjugado es Ż = 3 + 2i Ilustración 2
Complejos iguales
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
Operaciones de complejos en forma binómica.
Adición y Sustracción de números complejos, para sumar o restar números complejos en forma binómica:
a) Se suman o restan las partes reales b) Se suman o restan las partes imaginarias
c) El complejo suma o resta es el que contiene la suma o resta de las partes reales y la suma o resta de las partes imaginarias.
Ejemplos: Sean los complejosz1 = 8 + 3i; z2 = - 6 + 5i; z3 = 16 – 9i; z4 = 10 – 7i
a) z1 + z2 = (8 + 3i) + (- 6 + 5i) b) z1 – z2 = (8 + 3i) – (- 6 + 5i)
z1 + z2 = (8 - 6) + (3 + 5)I z1 – z2 = (8 + 3i) + (6 – 5i)
z1 + z2 = 2 + 8i z1 – z2 = (8 + 6) + (3 – 5)i → z1 – z2 = 14 – 2i
Realizar las siguientes operaciones: a) z2 + z3 b) Z2 + z4 c) Z4 – Ż3 d) Z2 – z4
Multiplicación de números complejos en forma binómica
Es similar al procedimiento utilizado para multiplicar binomios. Si Z1 = 4 + 6i y z2 = 2 + 7i
Z1 * Z2 = (4 + 6i)(2 + 7i) → Z1 * Z2 = 4(2 + 7i) + 6i(2 + 7i) propiedad distributiva
Z1 * Z2 = 8 + 28i + 12i + 42i2 Se sustituye i2 por -1
Z1 * Z2 = 8 + 40i + 42( - 1) → Z1 * Z2 = 8 + 40i – 42 → Z1 * Z2 = - 34 + 40i
Realiza los siguientes productos:
a) (3 – 2i)(2 + i) b) (8 – 5i)(4 – 3i) c) (- 6 + i)(conjugado de 4 – 6i) d) (- 10 + 5i)(7 –i) e) (2 + 2i)(conjugado de - 2 – 2i)
División de números complejos en forma binómica
Para dividir dos números complejos en forma, se aplica un artificio matemático que consiste en multiplicar el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor de la expresión dada, luego se procede a multiplicar numerador con numerador y divisor con divisor.
Sean los complejos Z1 = 16 + 4i y z2 = 2 – 3i
Z1/ z2 = (16 + 4i)/(2 – 3i) → Z1/ z2 = (16 + 4i)/(2 – 3i) * (2 + 3i)/(2 + 3i)
Z1/ z2 = (16 + 4i) * (2 + 3i)/(2 – 3i) * (2 + 3i) → Z1/ z2 = 16(2 + 3i) + 4i(2 + 3i)/2(2 + 3i) – 3i(2 + 3i)
Z1/ z2 = 32 + 48i + 8i + 12i2/4 + 6i – 6i – 9i2 → Z1/ z2 = 32 + 56i + 12( - 1)/4 – 9( - 1)
Z1/ z2 = 32 + 56i – 12/4 + 9 → Z1/ z2 = (20 + 56i)/13 → Z1/ z2 = 20/13 + 56i/13
Realiza las siguientes divisiones:
a) (3 – i)/(2 + 2i) = b) (2 +3i)/(4 – 2i) = c) (2 – 3i)/(-3 + 2i) = d) (10 – 7i)/(9 + i) = e) (2 + i)(2 – 6i)/(4 – 5i) =
Números complejos en forma polar y trigonométrica
La forma polar de un complejo viene dado por la expresión Z = rα
Valor absoluto o módulo de un complejo.
Para un complejo en forma binómica Z = a + bi Ilustración 1
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: │Z│ = (a2 + b2)1/2
Argumento
El argumento o fase de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: α = Tan – 1(b/a)
Ejemplo: Sea el complejo Z = - 5 + 10i expresalo en forma polar:
1. Módulo
r = (a2 + b2)1/2 → r = ((-5)2 + (10)2)1/2 → r = (a2 + b2)1/2 → r = (25 + 100)1/2 → r = (a2 + b2)1/2 → r = (125)1/2 → r = 11.18
2. Argumento
α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = Tan – 1(10/5) → α´ = Tan – 1(2) → α´ = 63.44º
Cuando Z = - 5 + 10i esta en el 2do cuadrante, entonces α se calcula con la expresión
α = 180º - α´ → α = 180º - 63.44º → α = 116.56º Ilustración 2
Expresar en forma polar los siguientes números complejos.
a) Z= 5 + 8i b) Z = - 6 + 5i c) Z = - 7 – 3i d) el conjugado de Z = 5 + 8i
Operaciones con complejos en forma polar.
1. Multiplicación, para multiplicar dos complejos en forma polar:
1) Se multiplican los módulos (r * r) → 2) Se suman los argumentos (α + β)
Sean los complejos Z1 = r1α ; Z2 = r2β; su producto es Z1 * Z2 = r1α * r2β → Z1 * Z2 = r1 * r2 (α + β)
Sea Z1 = 560º; Z2 = 10200º; Z3 = - 5 + 3i, encontrar:
a) Z1 * Z2 = (560º)( 10200º) → Z1 * Z2 = (5 * 10)60º + 200º → Z1 * Z2 = 50260º
b) Z2 * Z3 = (10200º)(- 5 + 3i) previamente debe expresarse el complejo a la forma polar. Así Z3 = - 5 + 3i
Modulo Argumento
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((-5)2 + (3)2)1/2 α´ = Tan – 1(y/x) → α´ = Tan – 1(3/5)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (25 + 9)1/2 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = Tan – 1(0.6)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (34)1/2 → r = 5.83 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = 31º
Como α´es del 2do cuadrante: α = 180 – α´ → α = 180 – 31º → α = 149º
Z2 * Z3 = (10200º)(- 5 + 3i) → Z2 * Z3 = (10200º)(5.83149º) → Z2 * Z3 = (10 * 5.83)200º+149º → Z2 * Z3 = 58.3349º Ilustración 1
c) Z1 * (conjugado de Z3) = (560º)(conjugado de – 5 + 3i)
Z3 = – 5 + 3i su conjugado es – 5 – 3i
a) Z1 * (conjugado de Z3) = (560º)(conjugado de – 5 + 3i); Z3 = – 5 + 3i conjugado – 5 – 3i
Modulo Argumento
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((-5)2 + (-3)2)1/2 α´ = Tan – 1(y/x) → α´ = Tan – 1(3/5)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (25 + 9)1/2 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = Tan – 1(0.6)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (34)1/2 → r = 5.83 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = 31º
Como α´es del 3er cuadrante α = 180 + α´ → α = 180 + 31º → α = 211º
Z1 * (conjugado de Z3) = (560º)(conjugado de – 5 + 3i)
Z1 * (conjugado de Z3) = (560º)( – 5 – 3i) → Z1 * (conjugado de Z3) = (560º)(5.83211º)
Z1 * (conjugado de Z3) = (5 * 5.83)60º + 211º → Z1 * (conjugado de Z3) = 29.15271º Ilustración 2
Realiza los siguientes productos: 1. (310º)(740º) 2. (530º)(450º) 3. (657º)(4 – 8i)
2. División
Para dividir dos complejos en forma polar: a) Se dividen los módulos (r1/r2) b) Se restan los argumentos (α – β)
Así si Z1 = r1α; Z1 = r2 β → Z1/ Z2 = (r1/r2) α – β
Hallar el cociente indicado:
a) (850º/420º) → (850º/420º) = (8/4)50º - 20º → (850º/420º) = 230º b) 7250º/2100º c) (- 6 – 2i)/5130º
3. Potencia de complejos en forma polar:
Para elevar un complejo en forma polar a un exponente “n”:
a) Se eleva el módulo al exponente “n” esto es (r) n b) Se multiplica el exponente por el argumento (n * α) Así (Z)n = (r α)n → Zn = rnn * α
Ejemplo,encuentra la potencia de:
a) Z3 = (720º)3 → Z3 = (220º)3 → Z3 = (233 * 20º) → Z3 = 860º b) Z5 = (440º)5 → Z5 = (455 * 40º) → Z5 = 1024200º
Obtén el resultado de las siguientes operaciones con complejos en forma polar:
a) (240º)( 9140º)/350º c) (190º)( 845º)/475º b) (390º)2(430º)/( 636º)( 2135º) d) (2135º)3(290º)
Continua
