Forma trigonométrica de un número complejo
Forma trigonométrica de un número complejo.
Sea el complejo Z = rαla forma trigonométrica es Z = r(Cosα + iSenα). Si el complejo esta dado en forma binómica, entonces se lleva primero a la forma polar y luego a la forma trigonométrica.
Forma polar Forma trigonométrica
a) Z = 635º → Z = 6(Cos35º + iSen35º)
b) Z = 635º → Z = 15(Cos60º + iSen60º)
c) Z = -4 + 7i → Z = r(Cosα + iSenα)
Z = 8.06119.74º → Z = 8.06 (Cos119.74º + iSen119.74º)
En el caso “c” debe llevarse primero a la forma polar
Módulo Argumento
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((-4)2 + (7)2)1/2 α´ = Tan – 1(y/x) → α´ = Tan – 1(7/4)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (16 + 49)1/2 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = Tan – 1(1.75)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (65)1/2 → r = 8.06 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = 60.26º
Como α´es del 2do cuadrante se tiene α = 180 – α´ → α = 180 – 60.26º → α = 119.74º
Las reglas aplicadas a las operaciones en la forma polar son las mismas que para la forma trigonométrica.
1. [5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = (5 * 2)[Cos(20º + 50º) + Sen(20º + 50º)]
[5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 10(Cos70º + iSen70º)
[5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 10(0.34 + 0.94i) → [5(Cos20º + iSen20º)][2(Cos50º + iSen50º)] = 3.4 + 9.4i
2. [8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = (8/4)[Cos(80º - 60º) + iSen(80º - 60º)]
[8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 2(Cos20º + iSen20º)
[8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 2(0.94 + 0.34i) → [8(Cos80º + iSen80º)]/[4(Cos60º + iSen60º)] = 1.88 + 0.68i
3. [4(Cos30º + iSen30º)]3 = 43 [Cos(3 * 30º) + iSen(3 * 30º)] → [4(Cos30º + iSen30º)]3 = 64 (Cos90º + iSen90º)
[4(Cos30º + iSen30º)]3 = 64(0 + i) → [4(Cos30º + iSen30º)]3 = 64i
Como expresar un complejo en forma trigonométrica en forma rectangular.
En el complejo Z = r(cosα + isenα), rcos α = a es la parte real y r(isen α) = b es la parte imaginaria, Por tanto Z en forma rectangular es a + bi.
Ejemplo Z = 3(cos60º + isen60º) en forma rectangular es:
a = 3(cos60º) → a = 3(0.5) → a = 1.5; b = 3(isen60º) → b = 3(0.87i) → b = 2.61i
Z = 3(cos60º + isen60º) en forma rectangular es Z = 1.5 + 2.61i
Efectúa las siguientes operaciones con complejos en forma trigonométrica.
1. [3(Cos60º + iSen60º)]2[4(Cos30º + iSen30º)]3 2. [8(Cos108º + iSen108º)]/[5(Cos36º + iSen36º)]2
Potencia fraccionaria de un número complejo (radicación).
Si “n” es un número cualquiera, entonces
Z1/n = [r(Cos α + iSen α)]1/n → Z1/n = r1/n[Cos(1/n * α) + iSen(1/n * α)]
Si se suma o resta a un ángulo un múltiplo de 360º la ecuación no se altera
Z1/n = r1/n[Cos1/n(α + 2∏k) + iSen1/n(α + 2∏k)] → Z1/n = r1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
(Z)1/n =( r)1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n], donde k = 0,1,2,3,…….,n – 1. Esta ecuación es llamada “Teorema de Moivre”
Resumen de formas y formulas importantes:
1. Forma binómica → Z = a + bi; 2. Forma de par ordenado → Z = (a, b);
3. Forma polar → Z = rα; 4. Forma trigonométrica → Z = r(Cos α + i Sen α)
Angulo de acuerdo al cuadrante en que este situado el número complejo:
α = Tan – 1(y/x) para I cuadrante; α´ = Tan – 1(y/x) → α = 180º - α´ para II cuadrante
α´ = Tan – 1(y/x) → α = 180º + α´ para III cuadrante; α´ = Tan – 1(y/x) → α = 360º - α´ para IV cuadrante.
Ejemplos:
1. Hallar la raíz cuadrada de Z = 4(Cos 60º + iSen 60º); Se sabe que Z1/n = r1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Z1/2 = 41/2[Cos (α + 2∏k)/2 + iSen (α + 2∏k)/2] como n – 1 = 2 – 1 = 1 ; k = 0
r0 = 2[Cos (60º + 2∏ * 0)/2 + iSen (60º + 2∏ * 0)/2]
r0 = 2[Cos (60º + 0)/2 + iSen (60º + 0)/2] → Z1/n = 2[Cos (60º /2) + iSen (60º)/2]
r0 = 2[Cos 30º + iSen 30º] → Z1/2 = 2[0.87 + 0.5i] ⇒ r0 = 1.74 + i
Para k = 1
r1 = 2[Cos (60º + 360º * 1)/2 + iSen (60º + 360º * 1)/2]
r1 = 2[Cos (60º + 360º)/2 + iSen (60º + 360º)/2] → r1 = 2[Cos420º/2 + iSen420º/2]
r1 = 2[Cos 210º + iSen 210º] → r1 = 2[- 0.87 - 0.5i] → r1 = - 1.74 – i Ilustración 1
2. Encuentra las tres raíces del complejo Z = - 3 + 5i. Primero debe expresarse el complejo en la forma trigonométrica.
Módulo Argumento
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((-3)2 + (5)2)1/2 α´ = Tan – 1(y/x) → α´ = Tan – 1(5/3)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (9 + 25)1/2 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = Tan – 1(1.66)
r = (x2 + y2)1/2 → r = (34)1/2 → r = 5.83 α´ = Tan – 1(b/a) → α´ = 59º
Como α´es del 2do cuadrante α = 180 – α´ → α = 180 – 59º → α = 121º
Forma polar Z = rα → Z = 5.83121º ; Forma trigonométrica Z = 5.83 (Cos121º iSen121º)
Z1/3 = [5.83 (Cos121º + iSen121º)]1/3 como n – 1 = 3 – 1 = 2
Z1/n = r1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n] para k = 0
r0 = 5.831/3[Cos (121º + 360º * 0)/3 + iSen (121º + 360º * 0)/3]
r0 = 5.831/3[Cos (121º + 0)/3 + iSen (121º + 0)/3] → r0 = 1.8[Cos 121º/3 + iSen 121º/3]
r0 = 1.8(Cos 40.33º + iSen 40.33º) → r0 = 1.8[0.76 + 0.65i) → r0 = 1.4 + 1.2i
Para K = 1
r1 = 5.831/3[Cos (121º + 360º * 1)/3 + iSen (121º + 360º * 1)/3]
r1 = 1.8[Cos (121º + 360º)/3 + iSen (121º + 360º)/3] → r1 = 1.8(Cos 481/3 + iSen 481/3)
r1 = 1.8(Cos160.33º + iSen 160.33º) → r1 = 1.8(- 0.94 + 0.34i) → r0 = - 1.7 + 0.6i
para k = 2
r2 = 5.831/3[Cos (121º + 360º * 2)/3 + iSen (121º + 360º * 2)/3]
r2 = 1.8[Cos (121º + 720)/3 + iSen (121º + 720)/3] → r2 = 1.8(Cos 841º/3 + iSen 841º/3]
r2= 1.8(Cos 280.33º + iSen 280.33º) → r2 = 1.8(0.18 + - 0.98i) → r2 = 0.32 – 1.76i Ilustración 2
3. Determina las tres raíces cúbicas de Z = 8i → Z = 0 + 8i, se convierte primero el complejo a la forma trigonométrica
ódulo Argumento
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((0)2 + (8)2)1/2 Como la parte real es cero y la parte imaginaria es
r = (x2 + y2)1/2 → r = (0 + 64)1/2 positiva, entonces el ángulo es de 90º → α = 90º.
r = (x2 + y2)1/2 → r = (64)1/2 → r = 8
Forma polar Z = rα → Z = 890º ; Forma trigonométrica Z = 8(Cos90º + iSen90º)
n = 3; r = 8; α = 90º; n – 1 = 3 – 1 = 2
Z1/n = r1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Para k = 0
r0 = 81/3[Cos (90º + 360º * 0)/3 + iSen (90º + 360º * 0)/3]
r0 = 2[Cos (90º + 0)/3 + iSen (90º + 0)/3] → r0 = 2[Cos (90º)/3 + iSen (90º)/3]
r0 = 2(Cos30º + iSen30º) → r0 = 2(0.87 + 0.5i) → r0 = 1.74 + i
Para k = 1
r1 = 81/3[Cos (90º + 360º * 1)/3 + iSen (90º + 360º * 1)/3]
r1 = 2[Cos (90º + 360º)/3 + iSen (90º + 360º)/3] → r1 = 2[Cos (450º)/3 + iSen (450º)/3]
r1 = 2(Cos150º + iSen150º) → r1 = 2(- 0.87 + 0.5) → r1 = - 1.74 + i
Parak = 2
r2 = 81/3[Cos (90º + 360º * 2)/3 + iSen (90º + 360º * 2)/3]
r2 = 2[Cos (90º + 720º)/3 + iSen (90º + 720º)/3] → r1 = 2[Cos810º/3 + iSen810º/3]
r2 = 2(Cos270º + iSen270º) → r1 = 2(0 - 1) → r1 = – 2i Ilustración 1
1. Resolver la ecuación Z4+16 = 0 → Z4 = - 16 → Las soluciones son las raíces cuartas de -16
r = (x2 + y2)1/2 → r = ((0)2 + (16)2)1/2 Como la parte real es cero y la parte imaginaria es
r = (x2 + y2)1/2 → r = (0+256)1/2 negativa, entonces el ángulo es de 270º → α = 270º.
r = (x2 + y2)1/2 → r = (256)1/2 → r = 16
Forma polar Z = rα → Z = 16270º
Forma trigonométrica Z = 16(Cos270º + iSen270º)
n = 4; r = 16; α = 270º; n – 1 = 4 – 1 = 3
Z1/n = r1/n[Cos (α + 2∏k)/n + iSen (α + 2∏k)/n]
Para k = 0
r0 = 161/4[Cos (270º + 360º * 0)/4 + iSen (270º + 360º * 0)/4]
r0 = 2[Cos (270º + 0)/4 + iSen (270º + 0)/4] → r0 = 2[Cos (270º)/4 + iSen (270º)/4]
r0 = 2(Cos7.5º + iSen67.5º) → r0 = 2(0.38 + 0.92i) → r0 = 0.76 + 1.84i
Para k = 1
r1 = 161/4[Cos (270º + 360º * 1)/4 + iSen (270º + 360º * 1)/4]
r1 = 2[Cos (270º + 360º)/4 + iSen (270º + 360º)/4] → r1 = 2[Cos630º/4 + iSen630º/4]
r1 = 2(Cos157.5º + iSen157.5º) → r1 = 2(- 0.92 + 0.38) → r1 = - 1.84 + 0.76i
Parak = 2
r2 = 161/4[Cos (270º + 360º * 2)/4 + iSen (270º + 360º * 2)/4]
r2 = 2[Cos (270º + 720º)/4 + iSen (270º + 720º)/4] → r2 = 2[Cos990º/4 + iSen990º/4]
r2 = 2(Cos247.5º + iSen247.5º) → r2 = 2(- 0.38 - 0.92) → r2 = - 0.76 – 1.84i
Parak = 3
r3 = 161/4[Cos (270º + 360º * 3)/4 + iSen (270º + 360º * 3)/4]
r3 = 2[Cos (270º + 1080º)/4 + iSen (270º + 1080º)/4] → r3 = 2[Cos1350º/4 + iSen1350º/4]
r3 = 2(Cos337.5º + iSen337.5º) → r3 = 2(0.92 - 0.38) → r3 = - 0.76 – 1.84i Ilustración 2
I) Determine las raíces indicadas.
a) Las raíces cúbicas de 27(cos12º + isen12º) b) Las raíces quintas de 32(cos22.5º + isen22.5º)
c) Las raíces cúbicas de - 4√2 - 4√2i d) Las raíces sextas de – 1 y trace el gráfico
II) Resuelva las ecuaciones dadas, exprese el resultado en formas rectangular.
a) Z3 + 27 = 0, b) Z4 + 1 – √3 i = 0, c) Z4 + 64i = 0
