Producto de rotaciones y Transformaciones en General.
Cuando se habla de producto de rotaciones se hace referencia a la aplicación de dos rotaciones con el mismo centro a una figura de forma consecutiva, es decir, una después de la otra.
En el producto de rotaciones el orden en que se aplican a la figura no influye en el resultado R1(o, α)* R2(o,θ) = R2(o,θ) * R1(o,α).
Si R1 y R2son dos rotaciones, respecto al origen, para ángulos α y θrespectivamente, su producto R2 * R1es una rotación de ánguloα + θ. → R2 * R1: (x,y) = P´´ [x Cos(α + θ) – y Sen(α + θ), x Sen(α + θ) + y Cos(α + θ)]
Todo producto de rotaciones se puede reducir a una única rotación cuyo ángulo de giro corresponde a la suma de cada ángulo de giro por separado R1(o, α) * R2(o, θ) = R(o,α+θ)
Ejemplo:
1) Determinar la imagen del punto frente al producto de las rotaciones R2 * R1, si R1 es una rotación 45º y R2 es una rotación 90º respecto al origen.
La aplicación de las dos rotaciones sucesivas, una de 45º y otra de 90º, es equivalente a una rotación 45º + 90º = 135º. Ilustración 1.
R2 * R1 = P´´(x´´,y´´) → x´´ = x Cos(α + θ) – y Sen(α + θ); y´´ = x Sen(α + θ) + y Cos(α + θ)
R2 * R1 = P´´ [x Cos(α + θ) – y Sen(α + θ), x Sen(α + θ) + y Cos(α + θ)]
R2 * R1 = P´´ [4Cos(45º + 90º) – 6Sen(45º + 90º), 4Sen(45º + 90º) + 6Cos(45º + 90º)]
R2 * R1 = P´´ [4Cos135º – 6Sen135º, 4Sen135º + 6Cos135º]
R2 * R1 = P´´ [4(-0.71) – 6(0.71), 4(0.71) + 6(-0.71)] → R2 * R1 = P´´ [-2.84 – 4.26, 2.84 + (-4.26)] ⇒ R2 * R1 = P´´ (-7.10, -1.42)
2) Determinar la imagen del cuadrilátero ABCD, cuyas coordenadas son A(-5,7), B(-2,7), C(-4,3) y D(-1,3) frente al producto de rotaciones R2 * R1; si R1es una rotación de 60º y R2 es una rotación de 80º respecto al origen. Ilustración 2.
La aplicación de las dos rotaciones sucesivas, una de 60º y otra de 80º, es equivalente a una rotación 60º + 80º = 140º.
VA) R2 * R1 = A´´ [-5Cos140º – 7Sen140º, -5Sen140º + 7Cos140º] → VA) R2 * R1 = A´´ [-5(-0.77) – 7(0.64), -5(0.64) + 7(-0.77)]
VA) R2 * R1 = A´´ [3.85 – 4.48, -3.20 + (-4.97)] ⇒ R2 * R1 = A´´ (-0.63, -8.17)
VB) R2 * R1 = B´´ [-2Cos140º – 7Sen140º, -2Sen140º + 7Cos140º] → VB) R2 * R1 = B´´ [-2(-0.77) – 7(0.64), -2(0.64) + 7(-0.77)]
VB) R2 * R1 = B´´ [1.54 – 4.48, -1.28 + (-5.39)] ⇒ R2 * R1 = B´´ (-2.94, -6.67)
VC) R2 * R1 = C´´ [-4Cos140º – 3Sen140º, -4Sen140º + 3Cos140º] → VC) R2 * R1 = C´´ [-4(-0.77) – 3(0.64), -4(0.64) + 3(-0.77)]
VC) R2 * R1 = C´´ [3.08 – 1.92, -2.56 + (-2.31)] → R2 * R1 = C´´ (1.16, -4.87)
VD) R2 * R1 = D´´ [-1Cos140º – 3Sen140º, -1Sen140º + 3Cos140º] → VD) R2 * R1 = D´´ [-1(-0.77) – 3(0.64), -1(0.64) + 3(-0.77)]
VD) R2 * R1 = D´´ [0.77 – 1.92, - 0.64 + (-2.31)] → R2 * R1 = D´´ (- 1.15, - 2.95)
Ejecicios:
1) Si al triángulo ABC de la figura, se le aplica una rotación de 90°, con centro en origen, y luego una rotación de 40º ¿Cuál sería la posición de la nueva imagen. Ilustración 1.
2) ¿Qué figura geométrica se obtendría si a partir de un punto X, ubicado en un plano cartesiano como se indica en la figura de la ilustración 2, se efectúan todas las rotaciones posibles en torno al origen “O”?
3) Si se rota en 270º el triángulo de vértices: A(2,3), B(7,-2) y C(5,8) en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, ¿Cuáles son los vértices del triángulo resultante después de aplicar otro giro de 40º?
4) Si el trazo AB ubicado en un plano cartesiano, de extremos A(2,5) y B(-2,0) se gira positivamente con centro en el origen 180º, luego se gira 90º más y finalmente se gira otros 90º, ¿Cuáles los extremos del trazo resultante.
5) Para que un punto A(2,5) se desplace hasta la posición A’(5,-2), se debe aplicar un giro.
6) En base a la figura resolver los siguientes ejercicios:
a) Aplicar la rotación R = ( 0,90°) al romboide ABCD.
b) Rotar el romboide ABCD con respecto al punto (3,-2) en 60°.
c) Aplicar al romboide ABCD el siguiente producto R((1,0),20°) R((1,0),100°).
d) Aplicar al romboide ABCD el siguiente producto R((1,0),50°) R((1,0),40°) R((1,0),90°).
Producto de Transformaciones.
El producto de dos o más transformaciones diferentes (Isometrías) es una transformación.
Puede ser: Sx * Sy; Sx *So; Sy*T; Sx * R(o, α); T * R(o, α); ect.
Cuando las transformaciones son diferentes, el orden para realizarlas es de derecha a izquierda.
Ejemplos:
1) Determina el producto Sx * R(0,90º)sobre el segmento AB de coordenadasA(2,3) y B(6,4). Hacer la gráfica correspondiente.
El producto Sx * R(o, α) consiste en aplicar primero la rotación R(o, α) sobre el segmento ABy luego al resultado obtenido aplicar la simetría axial Sx.Solución: las ecuaciones: x´= xcosα – ysenα; y´= xsenα + ycosα
VA) x´= 2cos90º – 3sen90º → x´= 2(0) – 3(1) → x´= 0 – 3 → x´= – 3
VA) y´= 2sen90º + 3cos90º → y´= 2(1) + 3(0) → y´= 2 + 0 → y´= 2 → A´(- 3, 2)
VB) x´= 6cos90º – 4sen90º → x´= 6(0) – 4(1) → x´= 0 – 4 → x´= – 4
VB) y´= 6sen90º + 4cos90º → y´= 6(1) + 4(0) → y´= 6 + 0 → y´= 6 → B´(- 4, 6)
Ahora, se aplica la simetríaSx al segmento AB de extremos A´(- 3, 2) y B´(- 4, 6)
Sx * A´(-3,2) es A´´(-3,-2) Sx * B´(-4,6) es B´´(-4,- 6) ⇒ ilustración 1
2) Efectue sobre el segmento AB de la ilustración 2, cuyas coordenadas son A(2,4) y B(7,1) el producto de transformaciones R(0, α) * T, si R(0,30º) * T(x,y) → (x + 2, y + 3).
El producto R(0,30º) * T:(x,y) → (x + 2, y + 3)consiste en aplicar primero la traslación T(x,y) → (x + 2, y + 3) sobre el segmento AB y luego al resultado obtenido aplicar la rotación R(0,30º).
1º) Ecuaciones de traslación: x´= x + h; y´= y + k
T: A(2,4) → x´= 2 + 2 → x´= 4 y´= 4 + 3 → y´= 7 Así A´(4,7)
T: B(7,1) → x´= 7 + 2 → x´= 9 y´= 1 + 3 → y´= 4. Así B´(9,4)
2º) Ecuaciones rotación: x´= xcosα – ysenα; y´= xsenα + ycosα
VA) x´´= 4cos30º – 7sen30º → x´´= 4(0.87) – 7(0.5) → x´´= 3.48 – 3.5 → x´´= – 0.02
VA) y´´= 4sen30º + 7cos30º → y´´= 4(0.5) + 7(0.87) → y´´= 2 + 6.09 → y´´= 8.09 → A´´(- 0.02, 8.09)
VB) x´´= 9cos30º – 4sen30º → x´´= 9(0.87) – 4(0.5) → x´´= 7.83 – 2 → x´´= 5.83
VB) y´´= 4sen30º + 7cos30º → y´´= 9(0.5) + 4(0.87) → y´´= 4.5 + 3.48 → y´´= 7.98 → A´´(5.83, 7.98)
Probar que T * R(0,30º) # R(0,30º) * T
El producto de transformaciones distintas no cumple la propiedad conmutativa.
Nota: en la simetría Axiales y Centrales el orden en que se aplica influye en el resultado.
Ejercicios:
1) Realiza sobre el ∆ PQR de coordenadas P(-2,6), Q(-4,3) y R(-7,8) el producto de trasformaciones T * Sy si T: (x,y) → (x + 5, y + 2).
2) Efectúa sobre el cuadrilátero de la figura de la ilustración 1, las transformaciones pedidas en cada caso:
a) Sx * Sy c) R(0,135º) * So d) Sy * So
b) T * R si T: (x,y) →(x – 2, y + 1) y R (0,68º) e) Sx * Sy * Sx * Sy * So
3) En base a la figura de la ilustración 2 resolver los siguientes ejercicios:
a) Aplicar una reflexión al triangulo ABC respecto al eje de las ordenadas y luego respecto al eje de las abscisas.
b) Aplicar una reflexión al triángulo ABC respecto a la recta y = x.
c) Aplicar una reflexión al triángulo ABC respecto a la recta x = 3.
Ejercicios
1) Si las coordenadas de un punto inicial (x, y) varían a (x, -y) cuando se aplica una rotación (negativa) de 90º, en un plano cartesiano, con centro en el origen. ¿Cuáles serían las coordenadas del triángulo ABC luego de aplicar una rotación negativa de 90º (con centro en el origen) y posteriormente una traslación T (-2, 3)? Nota: Los vértices del triángulo son: A (2, 3), B (5, 1) y C (4, 5).
2) Si se rota en 180º el triángulo de vértices: A(0, 0), B(4, 3) y C(5, 0), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, y luego realizo una traslación con un vector de traslación T(-2, 2), los vértices del triángulo resultante son.
3) Si al punto A(3,4), ubicado en un plano cartesiano, se le aplica una rotación de 90°, con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el punto A´ sería.
4) ¿Cómo varían las coordenadas (x,y) de los vértices de un triángulo ABC, en un plano cartesiano al efectuar una rotación positiva de 360° con centro en el origen y luego una traslación con un vector de traslación T(0, 2)?
5) El triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo ABC, ubicado en un plano cartesiano de vértices A (2,0), B(2,7) y C(5,4) con respecto al eje Y, luego una rotación de 180º. Tiene como vértices.
6) Para que un punto A(2,5) se desplace hasta la posición A’(1,-4), se debería aplicar una traslación con vector T(-6,-6) y un giro positivo con centro en el origen y ángulo de rotación de 90º .
