Matematica-net - Inecuaciones en una variable

Inecuaciones en una variable

Las desigualdades son expresiones que utilizan uno de los signos: <, >, ≤, ≥.
Una inecuación es cualquier desigualdad que contiene una variable, por ejemplo son inecuaciones: x – 5 < 6; 2x + 4 > 4x – 6; 3(x – 2) ≤ 6.
  Propiedades de las desigualdades
I) Propiedades de orden de la suma y la resta
Para todos los números reales a, b y c:
♦ Si a < b, entonces a + c < b + c ó Si a < b, entonces a – c < b – c
♦ Si a > b, entonces a + c > b + c ó Si a > b, entonces a – c > b – c
II) Propiedades de orden de la multiplicación y de la división
♦ Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc   ó a/c < b/c
♦ Si a < b y c es negativo, entonces ac > bc   ó a/c > b/c
La solución de una inecuación: son todos aquellos valores de la variable en el conjunto de los números reales que satisfacen la inecuación.
Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.
1) Resolver x – 5 < 6
Solución algebraica
x – 5 < 6 sumando 5 en ambos miembros → x – 5 + 5 < 6 + 5 resulta x < 11. ⇒   conjunto solución C.S = { x ϵ R │x < 11}
En la recta numérica

En forma de intervalo (- ∞, 11)
El intervalo debe ser abierto por que no incluye el extremo derecho y el infinito siempre es abierto.
Prueba
Se prueba con valores que se encuentran en el intervalo y fuera del intervalo. Para x = - 1 → - 1 – 5 < 6 → - 6 < 6 V; para x = 3 → 3 – 5 < 6 → - 2 < 6  V
Para x = 11 → 11 – 5 < 6 → 6 < 6   F           para x = 14 → 14 – 5 < 6 → 9 < 6   F
Se puede observar que para un valor de x = 11 ó mayor que 11 no satisface la inecuación, 11 es un punto crítico de la inecuación y no se rellena por que la inecuación no incluye el signo de =.

Solución gráfica
Se convierte en función cada miembro de la expresión y se grafica cada función en un sistema de coordenadas.
Así y1 = x – 5; y2 = 9 y1 = x – 5 Para x = 0 → y1 = 0 – 5 → y1 = – 5 ⇒ A(0,5); Para x = 5 → y1 = x – 5   → y1 = 5 – 5 → y1 = 0 ⇒ B(5,0)

Se puede observar que verifica el conjunto de que los valores de x deben ser menores que 11.
1) Resolver – 4 ≤ 2x + 2 ≤ 14
  Solución algebraica
El objetivo es determinar el valor de x. Para eliminar 2 se resta 2 en los extremos y en el centro
– 4 – 2 ≤ 2x + 2 – 2 ≤ 14 – 2 → - 6 ≤ 2x ≤ 12, se aplica la propiedad de la división como el coeficiente de la x es positivo, entonces -6 /2 ≤ 2x/2 ≤ 12/2 →-3 ≤ x ≤ 6
Conjunto solución   C.S = { x ϵ R │-3 ≤ x ≤ 6}
En la recta numérica

En forma de intervalo [- 3, 6], cerrado por que incluye los extremos.
1) Resolver (2x + 3)/(x -2) > 5
Se debe hacer 0 el miembro derecho, moviendo al primer miembro el 5 y realizando la operación indicada.
[(2x + 5)/(x – 2)] – 5 > 0 → [(2x + 5)/(x – 2)] – 5/1 > 0, el mínimo común denominador de x – 2 y 1 se divide entre cada denominador y se multiplica por su respectivo numerador.   [2x + 5 – 5(x – 2)]/(x – 2) > 0 → (2x + 5 – 5x + 10)/(x- 2) > 0 reduciendo términos semejantes:
(- 3x + 15)/(x – 2) > 0 en este tramo se determinan los puntos críticos del numerador y el denominador, igualando a cero cada factor.
  Puntos críticos
Numerador Denominador
-3x + 15 = 0 x – 2 = 0
-3x = -15 → x = -15/-3 → x = 5 x = 2
En la recta de números reales se colocan cada uno de los puntos críticos, que determinan tres intervalos en este caso.
Se hace la prueba de los signos del numerador y el denominador en la expresión (- 3x + 15)/(x – 2) > 0, tomando valores de x que se encuentren en cada uno de los intervalos; los valores de los puntos críticos no deben tomarse porque son los que hacen cero el numerador y el denominador.
Nota: a) El punto crítico del denominador es siempre abierto. b) El intervalo que comienza termina en infinito es siempre abiertos.
c) Para la desigualdad >, el signo debe ser positivo y para la desigualdad <, el signo debe ser negativo.

C.S = x ϵ (2, 5)
4) Resolver (4x +

/(3x - 6) < 8
Solución
[(4x +

/(3x - 6)] – 8 < 0 → [(4x +

/(3x - 6)] – 8/1 < 0 → [4x + 8 – 8(3x - 6)]/(3x - 6) < 0 → 4x + 8 – 24x + 48)/(3x - 6) < 0 → (- 20x + 56)/(3x - 6) < 0
Puntos Críticos
Numerador Denominador
-20x + 56 = 0 3x - 6 = 0
-20x = - 56 → x = -19/-20 → x = 56/20 3x = 6 → x = 6/3 → x = 2En la recta real

Ejercicios:
I) Exprese cada desigualdad en notación de intervalo:   a) – 5 ≤ x ≤ 2;     b) 0 < x < 7;      c) 3 ≤ x ≤ 8;    d) x ≥ - 1;      e) x < 2
II) Exprese cada intervalo como desigualdad y grafique en la recta numérica: a) (- 3, - 1); b) (- 3, 2];     c) [-5, 4); d) [0, 6]; e) (-∞, 2]; f) [4, +∞)
III) Resuelve; escribe el conjunto solución de las inecuaciones y representa en recta real:
a) 2x + 4 > 4x – 6;       b) 3(x – 2) ≤ 12;       c) (6x + 9)/5 ≤ 2x – 4; d) 3x + 11 > 7 e)    (– x + 4)/2 > (x – 2 )/3; f) (x/2) – 5 > (x/4) + 3;
g) 5(x + 2) ≥ 2(x – 4);       h) - 5 < 2x – 3 ≤ 7 i) (- x + 16)/x + 5 ≥ 2 j) (3x – 7)/(2x – 11) < 10   k) (x – 2)/(x + 3) ≥ 0 m) (x + 4)/(x + 2) > 1/3

  Desigualdades con valor absoluto.

El valor absoluto de un número real x es la distancia de dicho número al origen y se representa por │x│.
Para un numero positivo x, │x│ = x y para un número negativo x, │x│ = - x. esto es │2│ = 2;   │- 2│ = -(- 2) = +2.
En general  │a│ = +a si a ≥ 0; │a│ = - a si a < 0.
♦ │x│< k se representa por dos inecuaciones: - k < x ∩ x < k , es válido también para ≤. Esto es – k < x < k

♦ │x│ > k se representa por dos inecuaciones: - k > x U x > k, es válido también para ≥. Esto es x < – k ; x > k.

Ejemplos:
1) │x│< 3 → - 3 < x ∩ x < 3 → - 3 < x < 3; C.S = (- 3, 3). Ilustación 1
2) │x│> 3 → x < - 3 U x > 3 → - 3 > x > 3; C.S = x ϵ (-∞, - 3) U (3, + ∞) Ilustración 2

3) |x - 2│≥ 7 → x – 2 ≤ - 7;       x – 2 ≥ 7
1º x – 2 ≤ - 7 → x ≤ - 7 + 2 ⇒ x ≤ - 5
2º x – 2 ≥ 7 → x ≥ 7 + 2 ⇒  x ≥ 9.       C.S = x ϵ (-∞, - 5] U [9, + ∞) ilustración 3

4) │2x - 3│ < 5
1º - 5 < 2x – 3 → - 5 + 3 < 2x → -2 < 2x → x > -2/2 ⇒ x > - 1
2º   2x – 3 < 5 → 2x < 5 + 3 → 2x < 8 → x < 8/2 ⇒ x < 4   C.S = x ϵ (- 1, 4) Ilustración 4

5) │ (2x – 1)/(1 + 2x)│ > 3
1º (2x – 1)/(1 + 2x)< - 3 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] + 3 < 0 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] + 3/1 < 0 → [(2x – 1 + 3(1 + 2x)]/(1 + 2x) < 0 (2x – 1 + 3 + 6x)/(1 + 2x) < 0 ⇒  (8x + 2)/(1 + 2x) < 0
Puntos críticos:   Numerador                                                   Denominador
8x + 2 = 0 1 + 2x = 0
8x = -2 → x = -2/8 → x = - 1/4                        2x = - 1 → x = -1/2
2º (2x – 1)/(1 + 2x) > 3 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] - 3 > 0 → [(2x – 1)/(1 + 2x)] - 3/1 > 0 → [(2x – 1 - 3(1 + 2x)]/(1 + 2x) > 0
     (2x – 1 - 3 - 6x)/(1 + 2x) > 0 → (- 4x - 4)/(1 + 2x) > 0
Puntos críticos:   Numerador                                                   Denominador
-4x - 4 = 0 1 + 2x = 0
-4x = 4 → x = 4/-4 → x = - 1 2x = - 1 → x = -1/2       C.S = x ϵ (- 1, - 1/2) U (- 1/2, - 1/4)

Ejercicios:
I)  Clasifique como verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones.
a) - │- 1/5│ = 1/5            b) │- 1/3│ = 3           c) │x/y│ = │x│*1/│y│            d) ││x││ = │x│
II)  Despeje x, trace la gráfica:
a)  │3x – 6│ < 9              b) │2 – x│≤ 3           c) │2x - 1│ > 7              d) │2 + 3x│ ≥ 4       e) │2x + 3│ > 5
III)     Resolver y graficar cada inecuación:
a)  │(2x – 1)/(x + 3) │≤ 1 b) │3 – 2x│< │x + 4│       c) │(x + 1)/(x – 2) │ > 2
d) │(3x – 1)/(x +7)│ < 3       e) │(3x + 5)/x│ ≥ 2 f) │1 – x/3│ < 1

Inecuaciones polinómicas de segundo y tercer grado.

Una inecuación de 2do grado es la expresión ax2 bx + c = 0 que se transforma en inecuación al sustituir el signo de igual por uno de los signos <,≤,>,≥. Así ax2 bx + c < 0; donde a, b y c son números reales y a # 0.

Procedimiento de solución:

1º Se hace cero el 2do miembro de la ecuación y se simplifica si es necesario.

2º Se factoriza la expresión para el estudio de los signos de cada factor.

3º Se estudia el signo del producto de los factores, que será el producto de los de los factores.

4º Dependiendo de la desigualdad pedida:
a) El ( - negativos) representa la desigualdad estricta < y el ( + positivos) representa la desigualdad estricta >.
b) El signo ≤ representa la desigualdad amplia que incluye la frontera por ( =, - negativo)
c) El signo ≥ representa la desigualdad amplia que incluye la frontera por ( =,+ positivo
Ejemplos 1: Resolver x2 − 6x > - 8. → x2 − 6x > - 8 → x2 − 6x + 8 > 0
1) Factorizar la expresión x2 − 6x + 8 > 0,
Se descompone la expresión en dos binomios factores (x – )(x – ) >0
Se descompone el +8 en dos factores que su producto sea +8 y su suma sea – 6 ⇒ (x - 4)(x - 2) > 0
2) Estudiar los signos de los factores y del polinomio:
a) Los intervalos en rojo representa valores negativos b) Los intervalos en azul representa valores positivos

Prueba	Intervalos	(x – 2)	(x – 4)	(x – 2)(x – 4) > 0
X = 0	(-∞, 2)	–	-	(–)(–) = +
X = 3	(2, 4)	+	-	(+)(–) = –
X = 4	(4, +∞)	+	+	(+)(+) = +

♦ Como la desigualdad pedida es >, el polinomio representa los valores que lo hacen positivo.
♦ Los valores 2 y 4 son los que hacen cero al polinomio no forma parte de la solución porque la desigualdad no incluye las fronteras.
Por tantoC.S = (- ∞, 2) U (4, + ∞)
Ejemplo 2: (x + 3)(x – 5) ≤ -12 → (x + 3)(x – 5) ≤ -12 → (x + 3)(x – 5) + 12 ≤ 0 realizando el producto
x2 + 3x – 5x – 15 +12 ≤ 0 → x2 – 2x – 3 ≤ 0 factorizando (x – 3)(x + 1) ≤ 0

Puntos críticos: x – 3 = 0 → x = 3; x + 1 = 0 → x = - 1

Prueba	Intervalos	(x – 3)	(x + 1)	(x – 3)(x + 1) ≤ 0
X = -2	(-∞, - 1]	–	-	(–)(–) = +
X = 0	[- 1, 3]	-	+	(-)(+) = –
X = 5	[3, +∞)	+	+	(+)(+) = +

El conjunto solución está formado por los valores del intervalos cerrado de -1 a 3 que son los valores que hacen negativa la expresión. C.S = x ϵ [- 1, 3]