Sucesiones, Progresiones y Series
Función: es una relación entre dos magnitudes caracterizada porque a los valores de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda magnitud.
· A la primera magnitud se le llama variable independiente y se denota por “x”.
· A la segunda magnitud se le llama variable dependiente y se denota por “y” o f(x).
En las siguientes formulas sustituye la variable “n” por los valores 1, 2, 3, 4 y realiza las operaciones indicadas.
a) – 3n + 2n2 b) (- 1)n(-n+3)/(4n-5) c) nn+3 d) √(n + 2) e) 4n2 + 3
f) (2n – 1)/n2 g) - n3/ 7 h) (5n – 4)/(n + 1)2
Sucesiones de números reales.
Las series numéricas: 1, 2, 3, 4, 5, 6,……….. ; 1, - 2, 4, - 8, 16, …….. ; 2, 4, 8, 16,…… ; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …….
Se denominan “sucesiones numéricas” porque forman un conjunto ordenado de números, cada uno de los elementos que constituye la sucesión se le llama “término”. Para representar los diferentes términos de una sucesión se utiliza la misma letra con diferentes subíndices que indican el lugar que ocupa ese término.
Así: a1 representa el primer término; a2 representa el segundo término; a3 representa el tercer término
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an: representa el término que ocupa el lugar “enésimo” y recibe el nombre de “término general”.
Una sucesión es una función que hace corresponder a cada número natural distinto de cero un número real.
Término general de una sucesión
· Una sucesión (an) monótona crecientesi cada término es menor o igual que el siguiente. Esto es an ≤ an+1; ∀n ϵ N.
Así 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5,………. es monótona creciente
· Una sucesión (an) monótona decrecientesi cada término es mayor o igual que el siguiente. Esto es an ≥ an+1; ∀n ϵ N . Así 6, 4, 2, 2, - 2, - 2, - 4, - 5, …………. es monótona decreciente
· Una sucesión (an) monótona estrictamente crecientesi cada término es menor que el siguiente. Esto es an < an+1; ∀n ϵ N. Así 1, 4, 9, 16, 25, 36,…….. es monótona estrictamente creciente
· Una sucesión (an) monótona estrictamente decreciente si cada término es mayor que el siguiente.Esto es an > an+1; ∀n ϵ N. Así 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,………. es monótona estrictamente decreciente
· Cuando en una sucesión los términos van alternando su signo, se dice que es una sucesión oscilante. Así 1, - 1, 1, - 1,……
Ley de recurrencia
A veces el término general de una sucesión no se puede transcribir como una expresión en función de “n” en esos casos se puede definir una sucesión mediante una ley de recurrencia, que permite obtener un término a partir de los anteriores.
Por ejemplo la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……….. en esta sucesión su término general se obtiene con la ley de recurrencia an = an-1 + an-2, donde a1 = a2 = 1
Cada término excepto los dos primeros (1) con que comienza, se obtiene como suma de los dos anteriores.
Nota:
♦ Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
a) Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
b) Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
♦ Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
Ejercicios
Hallar por simple inspección el término general de las siguientes sucesiones.
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36,……. b) 6/8, 8/10, 10/12, 12/14,…… c) 3, 6, 9, 12, 15, 18,……… d) 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9,……
e) 4, 8, 12, 16, 20, 24,…….. f) 1, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,……. d) 5, 9, 13, 17, 21, 25……… e) 5, - 25, 125, - 625,……
II – Halla los cuatro primeros término de las sucesiones, cuyos términos generales respectivos aparecen a continuación.
a) an = n2 + 3 b) an = (-1)n(2n/(n+1)) c) an = (3n – 2)/6n
d) (- 1)n+1(2/(n+2) 2) e) an = (- 1)2n/(n + 1) f) an = (- 1)2n + (2n+1)/2n
Progresiones aritméticas
Progresión es un término que procede del vocablo latino progressĭo. El concepto se emplea para nombrar al avance o el desarrollo de algo. La noción puede vincularse al verbo proseguir, que consiste en mantener o prolongar aquello que ya se ha comenzado.
Víctor está dispuesto a correr este año el maratón de 42 km y para estar en forma se propuesto un plan de entrenamiento muy exigente cada semana debe correr 3 km más que la semana anterior. Comienza con 2 km y quedan 15 semanas para el maratón.
Si anotamos las distancias que recorre Víctor cada semana, obtenemos la sucesión {2, 5, 8, 11, 14,……..}; en esta sucesión se puede apreciar que los términos van aumentando en una cantidad constante, es decir, en 3 km cada término.
Las sucesiones con estas características se llaman “progresiones aritméticas”.
Una progresión aritméticaes una sucesión de números reales en la que la diferencia “d” entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
En toda progresión aritmética se cumple que: ai+1 – ai = d; ∀i ϵ N - {0}, Cada termino se obtiene sumando al anterior la diferencia d → ai+1 = ai + d; ∀i ϵ N - {0}
Término general de una progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión que queda completamente definida si se obtiene su término general.
a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = (a1 + d) + d → a3 = a1 + 2d; a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d → a4 = a1 + 3d
…………………………………………………..
En general an = a1 + (n – 1)(d)
No tiene que ser el primero, puede ser un término cualquiera ak.
an = ak + (n – k)(d)
Ejercicios
I. Resuelve los problemas
a) Determina el término que ocupa el lugar 30 de una progresión aritmética cuyo primer término es – 2 y la diferencia es 3.
b) Halla el primer término de una progresión aritmética donde a15 = 28 y d = - 2
c) En el ejemplo de Víctor, ¿Cuántos km recorrerá antes de la prueba? ¿Cuántas semanas deben pasar para que recorra 26 km?
II. En las progresiones aritméticas, halla el término pedido:
a) 7, 10, 13,--- --- --- a10 b) – 8, 2, 12, --- --- --- a6 c) 2/7, 1/8, --- --- --- a8 d) 1/3, 7/8, --- --- --- a5
c) – 4, - 2/3, --- --- --- a7 g) – 7, - 3, 1, --- --- --- a23 d) 11, 6, 1, --- --- --- a11 h) 8, 0, - 8, --- --- --- a9
Interpolación aritmética
En una competición de béisbol se quiere premiar los sietes primeros lugares de forma que al primero se den 10,000 pesos y premio de los demás se vaya reduciendo según una progresión aritmética hasta llegar al séptimo, al que corresponden 2,800 pesos. ¿Cuántos pesos le corresponderán a cada jugador?
En este caso se origina una progresión aritmética en la cual se conocen el primer término 10,000 y el séptimo 2,800 faltando los valores de los premios correspondientes a los cinco lugares faltantes 10,000, ------, -----, -----, -----, -----, 2,80
La interpolación aritmética consiste en intercalar una cantidad concreta de números reales entre dos conocidos, de forma que la sucesión resultante sea una progresión aritmética. Las cantidades que se desean intercalar se llaman “medios aritméticos”
Si se quiere intercalar “m” medios aritméticos entre dos términos “p” y “q”
Donde “p” es el 1er término y “q” es el 2do término, el número de termino a intercalar es “m+1” ⇒ (p, m1, m2, -- -- --, mm, q)
Para que sea aritmética solo se debe hallar la diferencia con la fórmula d = (q – p)/(m + 1).
Si la diferencia es menor que cero, entonces la progresión es decreciente.
En el caso anterior: d = (q – p)/(m + 1) → d = (2,800 – 10,000)/(5 +1) = - 1200
a1 = p → a1 = 10,000; a2 = p + d → a2 = 10,000 + (- 1200) = 8,800;
a3 =p + 2d → a3 =10,000 + 2(- 1200) = 7,600: a4 = p + 3d → a4 = 10,000 + 3(- 1200) = 6,400
a5 = p + 4d → a5 = 10,000 + 4(- 1200) = 5,200; a6 = p + 5d → a6 = 10,000 + 5(- 1200) = 4,000
a7 = p + 6d → a7 = 10,000 + 6(- 1200) 2,800. Los premios faltantes son: 8,800; 7600; 6400; 5,200 y 4,000.
La progresión es: 10,000; 8,800; 7600; 6400; 5,200; 4,000 y 2,800.
Ejercicios
I. Interpola los medios aritméticos indicados para formar progresiones aritméticas en:
a) Cinco medios entre los términos 5 y 29 b) Tres medios entre los términos – 7 y 41
c) Siete medios entre los términos 0 y 6 d) Cuatro medios entre los términos – 13 y – 9
e) Ocho medios entre los términos 1/2 y - 7/10 f) Cuatro medios entre los términos – 42 y 53
II. Se van a colocar 10 farolas en un nuevo tramo de carretera. Si la primera farola se sitúa en el kilómetro 14 y la última en el 25, ¿en qué kilómetros se situarán las restantes para que sigan una progresión aritmética?
III. Compré 50 libros. Por el primero pagué RD$ 8.00 y por cada uno de los demás RD$3.00 más que el anterior. ¿Cuál fue el importe total de la compra?
Suma de los “n” términos de una progresión aritmética
Es muy conocida la anécdota según la cual a “Carl Friedrich Gauss” (1777 – 1855), cuando tenía diez años, cuando llegó a la clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que
sumasen todos los números naturales del 1 al 100. Antes el asombro del profesor, apenas este había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución 5,050.
Lo que este insigne matemático observó fue que 1 + 100 era igual 2 + 99, igual a 3 + 98, …., etc., es decir, rápidamente se dio cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar (50)(101) = 5,050, es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética.
A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga.
En general, para sumar los “n” primeros términos de una progresión aritmética:
Sea la progresión formada por los ochos primeros múltiplos de 5.
an = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,40 se puede observar que la suma de los términos extremos es a1 + a8 = 5 + 40 → a1 + a8 = 45 y que la suma de los términos equidistante es la misma. a2 + a7 = 10 + 35 → a2 + a7 = 45; a3 + a6 = 15 + 30 → a2 + a7 = 45; a4 + a5 = 20 + 25 → a2 + a7 = 45
En general, en una progresión aritmética limitada se verifica: a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
¿Cuál es la suma de los ochos términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.
S8 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40
S8 = 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 +
…………………………………………………............
2S8 = 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45
2S8 = 8 * 45 = 8 * (5 + 40) → S8 = [8 * (45)] / 2 → S8 = [360] / 2 → S8 = 180
Sea la progresión a1, a2, a3,..., an-1, an, si Sn representa la suma de los términos.
Sn = a1, a2, a3,..., an-1, an
Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1 +
…………………………………………….
Sumando las dos igualdades resulta: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)
hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an) * n, de donde: la suma de los términos de una progresión aritmética es: Sn = n(a1 + an)/2
I. Hallar la suma pedida en las siguientes progresiones aritméticas:
a) Ocho primeros términos de la progresión 15, 19, 23, --- --- --- --- b) Catorce primeros términos de la progresión 3/10, 2/5, 1/2, --- --- --- ---
c) Noveno primeros términos de la progresión 1/2, 1, 3/2, --- --- --- --- d) Siete primeros términos de la progresión – 2, 1/4, --- --- --- ---
e) Undécimo primeros términos de la progresión 42, 32, 22, --- --- --- ---
I. En una progresión aritmética se sabe que a1 = - 2 y a16 = 43. Halla a17
II. Suma los veinte primeros términos de la progresión – 5, 4, 13, 22, 31, 40, --- --- ---
III. Calcula la suma y el número de términos de una progresión aritmética limitada, cuyo primer término es – 2, el último 22 y la diferencia es 3.
IV. El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
V. La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 menos cada uno de los siguientes días del tratamient.El tratamiento dura 12 días. ¿Cuánto mg tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?
