Sistemas de inecuaciones lineales
La solución a un sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.
1)  Graficar y hallar el conjunto solución del sistema
2x + y ≤ 6  →  y ≤ 6 – 2x                                     
3x – 4y ≥ 12  →  y ≤ 3/4(x) – 3  como se está dividiendo por un número negativo (- 4), la desigualdad cambia de sentido. 
1º  y = 6 – 2x → Si x = 1 → y = 6 – 2(1) → y = 6 – 2 → y = 4 → A(1, 4);   Si x = 2 → y = 6 – 2(2) → y = 6 – 4 → y = 2 → B(2, 2)2º  y =  3/4(x) – 3 → Si x = 4  y =  3/4(4) – 3 → y =  12/4 – 3 →  y =  3 – 3 →  y = 0 → C(4, 0)
Si x = - 2  y =  3/4(- 2) – 3 → y =  - 6/4 – 3 →  y =  - 1.5 – 3 →  y = - 4.5 → D(- 2, - 4.5)                                         
Se puede observar que cualquier punto que se tome en la región con doble sombreado satisface ambas ecuaciones del sistema.Por tanto el conjunto solución del sistema es la región con doble sombreado.
2)  Graficar y determinar el conjunto solución del sistema:
x + 3y ≥ 12  →  y ≥ 12/3 – x/3  →  y ≥ 4 – x/3
-2x + y ≤ 4  →  y ≤ 4 + 2x
8x + 3y ≤ 54  →  y ≤ 54/3 – 8x/3  →  y ≤ 18 – 8x/3   
1º  L1:  y = 4 – x/3 → Si x = 0 → y = 4 – 0/3 → y = 4 – 0 → y = 4 → A(0, 4);   Si x = 6 → y = 4 – 6/3 → y = 4 – 2 →  y = 2  →  B(6, 2)
2º  L2: y = 4 + 2x→ Si x = 0 → y = 4 + 2(0) → y = 4 + 0 → y = 4 → C(0, 4);  Si x = 3 → y = 4 + 2(3) → y = 4 + 6 → y = 10 → D(3, 10)
3º  L3:  y ≤ 18 – 8x/3 → Si x = 3 → y = 18 - 8(3)/3 → y = 18 – 24/3 → y = 18 – 8 → y = 10   →  E(3, 10);   
Si x = 6 → y = 18 - 8(6)/3 → y = 18 – 48/3 → y = 18 – 16 → y = 2   →  F(6, 2).                            

Ejercicios.

Grafique y halle el conjunto solución de cada sistema de desigualdades.
a)   Y ≥ x + 2           c)  2x – y + 1 ≥ 0          d)  3x + y < 6           e)  │x│ ≤ 2
     Y ≤ - x + 1             x – 2y + 2 ≤ 0                        x > 1                │y│ ≤ 1 
b)   X – y ≤ - 1          f)   2x + y ≥ 7              g)   x + 2y ≤ 10          h)   x + 2y ≥ 10
    2x + y ≥ 7                     x – y ≥ - 1                  3x + 2y ≥ 18               3x + 2y ≥ 18 
    4x – y ≤ 11                4x – y ≥ 11                             y ≥ 0                          x ≥ 0
                                                                                                                             y ≥ 0

Programación lineal
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales.
Este tema se centrará en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.
Una de las principales aplicaciones de los sistemas de inecuaciones en dos variables es la Programación Lineal.
La programación Lineal consiste en determinar los máximos o mínimos de una función lineal llamada Función objetivo, sometida a ciertas restricciones, que se expresan mediante sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. el conjunto intersección de todos los semiplanos formados por las restriciones determina una región que recibe el nombre de "región de soluciones factibles".
♦  Las soluciones factibles básicas se encuentran en los vértices de la región.
♦  El vértice donde se encuentra la solución máxima o mínima se llama “solución óptima”.
Pasos para la solución:
1) Elegir las incógnitas.
2) Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3) Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4) Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
5) Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles.
6) Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según el caso del problema. 
Ejemplo 1
Calcular los valores máximo y mínimo de la función (x, y) = 110x + 96y sujeta a las restricciones: 
3x/4 +y/2 ≤ 6;  x/2 + y ≤ 6;  x≥ 0;    y≥ 0
Solución 
3x/4 +y/2 ≤ 6 → y =3 – 3x/8 →si x = 0 → y =3 – 3(0)/8 → y =3 – 0/8 → y =3 – 0 → y =3  ⇒  (0, 3)
si x = 8 → y =3 – 3(8)/8 → y =3 – 24/8 → y =3 – 3 → y = 0 ⇒ (8, 0)
x/2 + y ≤ 6 → y = 6 – x/2 → si x = 0 → y = 6 – 0/2 → y = 6 – 0 → y = 6 ⇒  (0, 6) 
si x = 6 → y = 6 – 6/2 → y = 6 – 3 → y = 3 ⇒  (6, 3)
                                          
Análisis del valor en los vértices

La tabla muestra que en el vértice (6,3) se obtiene el valor máximo y en el vértice (0,6) se obtiene el valor mínimo de la función. 
Ejercicios. 
I)  Graficar, determinar el máximo y mínimo de la función objetivo para cada sistema. Usar la tabla. 
a) 8x + 7y ≤ 56           b)  6x + 5y ≤ 60          c)  x + 2y ≤ 20           d)  x ≤ 7                 e)  x + 6y ≤ 96
    8x + 3y ≥ 24                2x + 5y ≥ 20                x ≥ 4                       0 ≤ y ≤ 5               4x + 5y ≤ 118
             y ≥ 0                           x ≥ 0                  y ≥ 2                      2x + y ≥ 8              3x + y ≤ 72
    5x +4y = k                  2x + 9y = k                2x + 3y = k               x + y/5 = k              x ≥ 0;   y ≥ 0
                                                                                                                                    x/2 + y/4 = k
II)  Calcular el máximo y mínimo de la función objetivo para la región del gráfico.
                            
Problemas de aplicación de la programación lineal.
Ejemplo 1.
Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2. La fábrica cuenta con dos secciones; carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S1requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería, mientras que uno de tipo S2 requiere 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. El personal de tapicería trabaja un total de 50 horas, y el de carpintería 70.
Las ganancias por las ventas de S1 y S2 (unidad) son, respectivamente 45 y 25 pesos. Calcular cuántos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias.
1. Leer detenidamente el enunciado y elegir las variables.
En este caso, se quiere hacer máximo el beneficio, es decir, maximizar una función.Como se quiere determinar las cantidades de sillones S1 y S2respectivamente, entonces  x = # de unidades de S1 e y = # de unidades de S2. La función beneficio a maximizar será: B(x, y) = 45x + 25y que es la función objetivo. 
2. Reordenar los datos del problema y escribir las inecuaciones correspondientes. En este paso es conveniente el uso de tablas:

Restricciones: x +3y ≤ 70;  2x + y ≤ 50; El # de unidades producidas no puede ser negativo ⇒ x ≥ 0;   y ≥ 0
3. Representando gráficamente la región factible.
                                                Análisis del valor en los vértices

El gráfico, facilita el análisis de cuáles son las opciones más rentables para la inversión.
Al escribir las restricciones se debe tener presente que la inversión en jugos no puede duplicar la inversión en pizas. Por tanto y < 2x.
Retracciones: escala 1cm = 5,000.  x+y ≤ 60,000 → y ≤ 12 - x;   x ≤ 30,000 → x ≤ 6;  y ≥ 15,000 → y ≤ 3;  x < 2y → y > x/2; 
La función objetivo es 0.15x + 0.1y = k
                                                              
Análisis del valor en los vértices